Русская Википедия:Среднее кубическое

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Среднее кубическое (также средняя кубическая) — число <math>x</math>, равное кубическому корню из среднего арифметического кубов данных чисел <math>a_1, a_2,..., a_n</math>:

<math>x=\sqrt[3]{\frac {a_1^3+ a_2^3+ \ldots+ a_n^3} {n}}</math>

Свойства

Среднее кубическое — частный случай среднего степенного и потому подчиняется неравенству о средних. В частности, для любых чисел оно не меньше среднего арифметического:

<math>\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\leqslant\sqrt[3]{\frac {a_1^3+ a_2^3+ \ldots+ a_n^3} {n}}</math>

Применение

Среднее кубическое является характеристикой объёмных признаков. Может использоваться, например, для расчёта среднего объёма предметов по их диаметрам. Так, если известны диаметры яиц, то их средний объём может быть рассчитан с помощью среднего кубического. Среднее кубическое находит применение в статистике.

Среднее кубическое для функции

Среднее кубическое можно также определить для непрерывной функции <math>f(t)</math>, заданной на отрезке <math>[T_1,\, T_2]</math>, по формуле

<math> x = \sqrt[3]{\dfrac{1}{T_2 - T_1} \int\limits_{T_1}^{T_2} f^3(t) \, dt,}</math>

а также для непрерывной функции <math>f(t)</math>, определённой на положительной полуоси:

<math> x = \lim_{T\rightarrow \infty} \sqrt[3]{\dfrac{1}{T} \int\limits_{0}^{T} f^3(t) \, dt.}</math>

Среднее кубическое для периодической функции по положительной полуоси равно среднему кубическому по периоду функции.

Пример вычисления

Рассмотрим функцию синуса

<math>x(t) = A \sin(\omega t),</math>

где <math>t</math> — время, <math>A</math> — амплитуда, а <math>\omega</math> — частота в радианах на единицу времени. Тогда

<math>\omega = \dfrac{2 \pi}{T}</math>

и среднее кубическое вычисляется как

<math>x = \sqrt[3]{\dfrac{1}{T} \int\limits_{0}^{T} A^3 \sin^3\left(\dfrac{2\pi}{T} t\right) \, dt} = \dfrac{A}{\sqrt[3]{2 \pi}} \sqrt[3]{\int\limits_{0}^{2\pi} \sin^3(t) \, dt.}</math>