Русская Википедия:Стандартное отображение
Стандартное отображение (Шаблон:Lang-en), известное также как стандартное отображение Чирикова (Шаблон:Lang-en) и отображение Чирикова — Тейлора (Шаблон:Lang-en) — нелинейное отображение (сохраняющее объём) для двух канонических переменных, <math>(p,\;x)</math> (импульса и координаты). Отображение известно своими хаотическими свойствами, которые впервые были исследованы[1] Борисом Чириковым в 1969 году.
Отображение задается такими итерационными уравнениями:
- <math>\begin{array}{lcr}{p}_{n+1}=p_n+K\sin x_n, \\ {x}_{n+1}=x_n+p_{n+1},\end{array}</math>
где параметр <math>K</math> контролирует хаотичность системы.
Модель ротатора
Стандартное отображение описывает движение классического ротатора — фиксированного стержня, на который не действует сила тяжести и который вращается без трения в плоскости вокруг оси, проходящей через один из его концов. Ротатор также испытывает вызванные внешней силой периодические во времени (с периодом единица) удары бесконечно короткой продолжительности. Переменные <math>x_n</math> и <math>p_n</math> соответствуют углу поворота ротатора и его угловому моменту после <math>n</math>-го удара. Параметр <math>K</math> описывает силу удара. Функция Гамильтона ротатора может быть записана так:
- <math>H=\frac{p^2}{2}+K\delta_{Per}(t)\cos x,</math>
где функция <math>\delta_{Per}(t)</math> — периодическая функция с периодом 1, на одном периоде совпадает с δ-функцией Дирака. Из вышеприведенной функции Гамильтона элементарно получается стандартное отображение.
Свойства
Для случая <math>K=0</math> отображение является линейным, поэтому существуют лишь периодические и квазипериодические траектории. При <math>K\neq 0</math> отображение становится нелинейным, согласно теореме КАМ, происходит разрушение инвариантных торов и движения стохастических слоев, в которых динамика является хаотической. Рост <math>K</math> приводит к увеличению областей хаоса на фазовой плоскости <math>(x,\;p)</math>. Благодаря периодичности функции <math>\sin(x)</math>, динамику системы можно рассматривать на цилиндре [взяв <math>x\;\bmod\;(2\pi)</math>] или на торе [взяв <math>(x,\;p)\;\bmod\;(2\pi)</math>].
Стационарные точки отображения определяются из условия <math>(x_n,\;p_n)=(x_{n+1},\;p_{n+1})</math>. На интервале <math>x\in[0,\;2\pi]</math>, <math>p\in[0,\;2\pi]</math> такими точками являются <math>(0,\;0)</math> и <math>(\pi,\;0)</math> (вследствие симметричности фазовой плоскости системы <math>(x_n,\;p_n)</math> при инверсии относительно точки <math>(\pi,\;\pi)</math> стационарные точки <math>(0,\;\pi)</math> и <math>(\pi,\;\pi)</math> можно не рассматривать).
Анализ линейной устойчивости отображения сводится к анализу системы уравнений
- <math>\left[\begin{array}{c}\delta x_{n+1} \\ \delta p_{n+1}\end{array}\right ]={\hat M}\left[\begin{array}{c}\delta x_{n} \\ \delta p_{n}\end{array}\right],</math>
- <math>{\hat M}=\left[\begin{array}{cc}1 & 1+ K\cos x_n \\ 1 & K\cos x_n\end{array}\right].</math>
Из условия <math>\det|{\hat M}-\lambda{\hat I}|=0</math> можно определить собственные значения матрицы <math>{\hat M}</math> для обоих стационарных точек [<math>(0,\;0)</math> и <math>(\pi,\;0)</math>]:
- <math>\lambda_\pm^{(0,\;0)}=\frac{2+K\pm\sqrt{K^2+4K}}{2},</math>
- <math>\lambda_\pm^{(\pi,\;0)}=\frac{2-K\pm\sqrt{K^2-4K}}{2}.</math>
Поскольку <math>K>0</math>, то отсюда следует неравенство <math>\lambda_{+}^{(0,\;0)}>1</math>. В то же время справедливо неравенство <math>\lambda_{-}^{(0,\;0)}<\lambda_{+}^{(0,\;0)}<1</math> для произвольных <math>K>0</math>. Таким образом стационарная точка <math>(0,\;0)</math> является неустойчивой гиперболической точкой. Стационарная точка <math>(\pi,\;0)</math> является устойчивой эллиптической точкой при <math>0\leqslant K<4</math>, поскольку тогда <math>\mathrm{Re}\left|\lambda_{\pm}^{(\pi,\;0)}\right|=1</math>. Для <math>K\geqslant 4</math> стационарная точка <math>(\pi,\;0)</math> теряет устойчивость и становится гиперболической.
Ниже критического значения параметра, <math>K<K_c</math> (рис. 1) инвариантные торы делят фазовое пространство системы так, что момент импульса <math>p</math> является ограниченным — иными словами, диффузия <math>p</math> в стохастическом слое не может выходить за границы, ограниченные инвариантными торами. «Золотой» инвариантный тор разрушается, когда число вращения достигает значения <math>r_g=(\sqrt{5}-1)/2</math>, что соответствует критическому значению параметра <math>K_g=0{,}971\ 635\ldots</math> (фазовое пространство системы для <math>K=0{,}971\ 635</math> изображено на рис. 2). На данный момент строго не доказано, что <math>K_c=K_g</math>, однако численные расчеты показывают, что это скорее всего так. На сегодняшний день существует лишь строгое доказательство того, что при <math>K>63/64=0{,}984\;375>K_c</math> наблюдается режим глобального хаоса, когда стохастическое море с отдельными островками устойчивости покрывает всё фазовое пространство (см. рис. 3). Инвариантных торов, ограничивающих эволюцию в фазовом пространстве, уже нет, и можно говорить о диффузии траектории в хаотическом море.
Энтропия Колмогорова — Синая стандартного отображения хорошо описывается соотношением <math>h\approx\ln(K/2)</math> для значений контрольного параметра <math>K>4</math>[2]
Квантовое стандартное отображение
Переход на квантового стандартного отображения происходит заменой динамических переменных <math>(p,\;x)</math> квантовомеханическими операторами <math>({\hat p},\;{\hat x})</math>, которые удовлетворяют коммутационному соотношению <math>[{\hat p},\;{\hat x}]=-i\hbar</math>, где <math>\hbar</math> — эффективная безразмерная постоянная Планка.
Основным свойством квантового отображения по сравнению с классическим является так называемое явление динамической локализации, заключающейся в подавлении хаотической диффузии за счёт квантовых эффектов[3].
Применение
Много физических систем и явлений сводятся к стандартному отображению. Это, в частности,
- динамика частиц в ускорителях;
- динамика кометы в Солнечной системе;
- микроволновая ионизация ридберговских атомов и автоионизация молекулярных ридберговских состояний;
- электронный магнетотранспорт в резонансном туннельном диоде;
- удержание заряженных частиц в зеркальных магнитных ловушках.
Модель Френкеля — Конторовой
Модель Френкеля — Конторовой следует выделить отдельно как первую модель, в которой уравнения стандартного отображения были записаны аналитически. Эта модель используется для описания динамики дислокаций, монослоев на поверхностях кристаллов, волн плотности заряда, сухого трения. Модель в стационарном случае задаёт связь между положениями взаимодействующих частиц (например, атомов) в поле пространственно-периодического потенциала. Функция Гамильтона одномерной цепочки атомов, взаимодействующих с ближайшими соседями через параболический потенциал взаимодействия и находящимися в поле косинусоидального потенциала, который описывает кристаллическую поверхность, имеет следующий вид:
- <math>H=\sum_n\left(\frac{P_n^2}{2}+\frac{(x_{n+1}-x_n)^2}{2}-K\cos x_n\right),\quad P_n={\dot x}_n.</math>
Здесь <math>x_n</math> — отклонение атома от своего положения равновесия. В стационарном случае (<math>P_n\equiv 0</math>) это приводит к следующему уравнению
- <math>x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}=K\sin x_n,</math>
которое заменой <math>p_{n+1}=x_{n+1}-x_n</math> можно свести к обычной записи стандартного отображения.
Примечания
Литература
- Стандартное отображение Чирикова на www.scholarpedia.org Шаблон:Ref-en.
- Шаблон:MathWorld
- Шаблон:Книга.
- Шаблон:Книга.
- Шаблон:Книга.
- Chirikov B. V. «Time-dependent quantum systems» in «Chaos and quantum mechanics» // Les Houches Lecture Series, Vol. 52, pp. 443—545, Eds. M.-J. Giannoni, A. Voros, J. Zinn-Justin, Elsevier Sci. Publ., Amsterdam (1991).
- ↑ Chirikov B. V. Research concerning the theory of nonlinear resonance and stochasticity // Preprint N 267, Institute of Nuclear Physics, Novosibirsk (1969), (Engl. Trans., CERN Trans. 71-40 (1971)).
- ↑ Chirikov B. V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Phys. Rep. 52: 263 (1979).
- ↑ Casati G., Chirikov B. V., Izrailev F. M., Ford J. Lecture Notes in Physics — Berlin: Springer, 93: 334 (1979).
