Русская Википедия:Стандартные ошибки в форме Уайта

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Стандартные ошибки в форме Уайта или состоятельные при гетероскедастичности стандартные ошибки (HC s.e. — Heteroskedasticity consistent standard errors) — применяемая в эконометрике оценка ковариационной матрицы (в частности и стандартных ошибок) МНК-оценок параметров линейной модели регрессии, которая состоятельна при гетероскедастичности случайных ошибок модели, альтернативная стандартной (классической) оценке, которая в данном случае является несостоятельной.

Сущность и формула

Истинная ковариационная матрица МНК-оценок параметров линейной модели в общем случае равна:

<math>V(\hat {b}_{OLS})=(X^TX)^{-1}(X^TVX)(X^TX)^{-1}</math>

где V — ковариационная матрица случайных ошибок. В случае, если нет гетероскедастичности и автокорреляции (то есть когда <math>V=\sigma^2 I</math>) формула упрощается

<math>\hat {V}(\hat {b}_{OLS})={\sigma}^2(X^TX)^{-1}</math>

Поэтому для оценки ковариационной матрицы в классическом случае достаточно использовать оценку единственного параметра — дисперсии случайных ошибок: <math>s^2=RSS/(n-k)</math>, которая, как можно доказать, является несмещённой и состоятельной оценкой.

В общем случае, однако, необходима некоторая оценка неизвестной ковариационной матрицы. В частности, если предполагается наличие гетероскедастичности при отсутствии автокорреляции, ковариционная матрица случайных ошибок является диагональной и все диагональные элементы <math>\sigma^2_t</math> неизвестны. В этом случае, общее выражение для ковариационной матрицы оценок можно записать в виде:

<math>V(\hat {b}_{OLS})=(X^TX)^{-1}(\sum_{t=1}^{n}\sigma^2_{t}x_tx^T_t)(X^TX)^{-1}</math>

Уайт (White, 1980) показал, что если использовать в этой формуле вместо неизвестных дисперсий ошибок квадраты остатков регрессии, то получается состоятельная оценка:

<math>\hat {V}(\hat {b}_{OLS})=(X^TX)^{-1}(\sum_{t=1}^{n}e^2_{t}x_tx^T_t)(X^TX)^{-1}</math>

Эта оценка является состоятельной только при отсутствии автокорреляции случайных ошибок (то есть как и было описано — в случае диагональной ковариационной матрицы случайных ошибок). В случае, если имеется ещё и автокорреляция, то можно использовать стандартные ошибки в форме Ньюи-Уеста.

Замечание

Иногда приведённую формулу оценки ковариационной матрицы корректируют на множитель <math>n/(n-k)</math>. Такая корректировка теоретически позволяет получить более точные оценки на малых выборках. В то же время на больших выборках (асимптотически) эти оценки эквивалентны.

См. также

• Обобщённый метод наименьших квадратов
• Стандартные ошибки в форме Ньюи-Уеста

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга