Русская Википедия:Статистика Ферми — Дирака

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения Шаблон:Статистическая физика Статистика Фе́рми — Дира́ка — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули: одно квантовое состояние не может быть занято более чем одной частицей). Определяет вероятность, с которой данный энергетический уровень системы, находящейся в термодинамическом равновесии, оказывается занятым фермионом.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц <math>n_i</math> с энергией <math>\varepsilon_i</math> есть

<math>n_i=\frac{g_i}{\exp\left(\dfrac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)+1}</math>,

где <math>g_i</math> — кратность вырождения (число состояний частицы с энергией <math>\varepsilon_i</math>), <math>\mu</math> — химический потенциал (при нуле температуры равен энергии Ферми <math>E_F</math>), <math>k</math> — постоянная Больцмана, <math>T</math> — абсолютная температура.

В идеальном ферми-газе при низких температурах <math>\mu=E_F</math>. В этом случае, если <math>g_i=1</math>, функция числа (доли) заполнения уровней частицами называется функцией Ферми:

<math>F(\varepsilon, T)=\frac{1}{\exp\left(\dfrac{\varepsilon-E_F}{kT}\right)+1}.</math>

Указанная статистика предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл. В 1927 статистика была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

Свойства статистики Ферми — Дирака

Файл:FD e mu.jpg

Функция Ферми — Дирака. С ростом температуры ступенька размывается, а заполнение состояний с энергиями выше <math>\mu</math> растёт.

Функция Ферми — Дирака обладает следующими свойствами:

• безразмерна;
• принимает вещественные значения в диапазоне от 0 до 1;
• убывает с энергией, резко спадая вблизи энергии, равной химическому потенциалу;
• при абсолютном нуле имеет вид ступеньки со скачком от 1 до 0 при <math>\varepsilon = \mu</math>, а при подъёме температуры скачок заменяется всё более плавным спадом;
• при <math>\varepsilon = \mu</math> всегда <math>F = 1/2</math> независимо от температуры.

Математический и физический смысл

Функцией Ферми — Дирака <math>F(\varepsilon, T)</math> задаются числа заполнения (Шаблон:Lang-en) квантовых состояний. Хотя она нередко называется «распределением», с точки зрения аппарата теории вероятностей она не является ни функцией распределения, ни плотностью распределения. В отношении этой функции, скажем, не может ставиться вопрос о нормировке.

Давая информацию о проценте заполненности состояний, функция <math>F(\varepsilon, T)</math> ничего не говорит о наличии этих состояний. Для систем с дискретными энергиями набор их возможных значений задаётся перечнем <math>\varepsilon_1</math>, <math>\varepsilon_2</math> и т.д., а для систем с непрерывным спектром энергий состояния характеризуются «плотностью состояний» <math>\rho(\varepsilon)</math> (Дж^-1 или Дж^-1м^-3). Функция

<math>f(\varepsilon) =\left(\int\rho(\varepsilon)F(\varepsilon)d\varepsilon\right)^{-1}\rho(\varepsilon)F(\varepsilon)</math>

является плотностью распределения (Дж^-1) частиц по энергии и нормирована. Для краткости, аргумент <math>T</math> опущен. В наиболее традиционных случаях <math>\rho(\varepsilon)\sim \sqrt{\varepsilon}</math>.

Классический (максвелловский) предел

При высоких температурах и/или низких концентрациях частиц статистика Ферми — Дирака (равно как и статистика Бозе — Эйнштейна) переходят в статистику Максвелла — Больцмана. А именно, в таких условиях

<math>F(\varepsilon) = \exp\left(\frac{E_F-\varepsilon}{kT}\right)</math>.

После подстановки плотности состояний <math>\rho(\varepsilon)</math> и интегрирования по <math>\varepsilon</math> от 0 до <math>+\infty</math> выражение для <math>f</math> примет вид

<math>f(\varepsilon) = \frac {2\pi\sqrt{\varepsilon}}{\sqrt{(\pi kT)^3}} \exp\left(-\frac{\varepsilon}{kT}\right)</math>.

Это и есть плотность распределения Максвелла (по энергиям).

Распределением Максвелла (особенно хорошо работающим применительно к газам) описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурации «частица <math>A</math> в состоянии 1 и частица <math>B</math> в состоянии 2» и «частица <math>B</math> в состоянии 1 и частица <math>A</math> в состоянии 2» считаются разными.

Применение статистики Ферми — Дирака

Характеристика сферы применения

Статистики Ферми — Дирака, а также Бозе — Эйнштейна применяются в тех случаях, когда необходимо учитывать квантовые эффекты и «неразличимость» частиц. В парадигме различимости оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии, что известно как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы.

Статистика Ферми — Дирака относится к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), а статистика Бозе — Эйнштейна — к бозонам. Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц <math>N/V\geqslant n_q</math> (где <math>N</math> — число частиц, <math>V</math> — объём, <math>n_q</math> — квантовая концентрация). Квантовой называется концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры.

Конкретные примеры

Статистика Ферми — Дирака часто используется для описания поведения ансамбля электронов в твёрдых телах; на ней базируются многие положения теории полупроводников и электроники в целом. Например, концентрация электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной зоне) полупроводника в равновесии рассчитывается как

<math>n = \int\limits_{E_c}^{+\infty}\rho(\varepsilon)F(\varepsilon)\,d\varepsilon,\quad p = \int\limits_{-\infty}^{E_v}\rho(\varepsilon)(1-F(\varepsilon))\,d\varepsilon</math>,

где <math>E_c</math> (<math>E_v</math>) — энергия дна зоны проводимости (потолка валентной зоны). Формула для туннельного тока между двумя областями, разделёнными квантовым потенциальным барьером, имеет общий вид

<math> j = \mbox{const}\cdot\int\Theta(\varepsilon)\left[F_L(\varepsilon)-F_R(\varepsilon)\right]\,d\varepsilon</math>,

где <math>\Theta</math> — коэффициент прозрачности барьера, а <math>F_L</math>, <math>F_R</math> — функции Ферми — Дирака в областях слева и справа от барьера.

Вывод распределения Ферми — Дирака

Шаблон:Переработать Рассмотрим состояние частицы в системе, состоящей из множества частиц. Пусть энергия такой частицы равна <math>\varepsilon</math>. Например, если наша система — это некий квантовый газ в «ящике», то подобное состояние может описываться частной волновой функцией. Известно, что для большого канонического ансамбля, функция распределения имеет вид

<math>Z=\sum_s e^{-(E(s)-\mu N(s))/kT},</math>

где <math>E(s)</math> — энергия состояния <math>s</math>, <math>N(s)</math> — число частиц, находящихся в состоянии <math>s</math>, <math>\mu</math> — химический потенциал, <math>s</math> — индекс, пробегающий все возможные микросостояния системы.

В данном контексте система имеет фиксированные состояния. Если какое либо состояние занято <math>n</math> частицами, то энергия системы — <math>n\cdot\varepsilon</math>. Если состояние свободно, энергия имеет значение 0. Будем рассматривать равновесные одночастичные состояния как резервуар. После того, как система и резервуар займут одно и то же физическое пространство, начинает происходить обмен частицами между двумя состояниями (фактически, это явление мы и исследуем). Отсюда становится ясно, почему используется описанная выше функция распределения, которая, через химический потенциал, учитывает поток частиц между системой и резервуаром.

Для фермионов, каждое состояние может быть либо занято одной частицей, либо свободно. Поэтому, наша система имеет два множества: занятых (разумеется, одной частицей) и незанятых состояний, обозначающихся <math>s_1</math> и <math>s_2</math> соответственно. Видно, что <math>E(s_1)=\varepsilon</math>, <math>N(s_1)=1</math>, и <math>E(s_2)=0</math>, <math>N(s_2)=0</math>. Поэтому функция распределения принимает вид:

<math>Z=\sum_{i=1}^2 e^{-(E(s_i)-\mu N(s_i))/kT}=e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1.</math>

Для большого канонического ансамбля, вероятность того, что система находится в микросостоянии <math>s_\alpha</math> вычисляется по формуле

<math>P(s_\alpha)=\frac{e^{-(E(s_\alpha)-\mu N(s_\alpha))/kT}}{Z}.</math>

Наличие состояния, занятого частицей, означает, что система находится в микросостоянии <math>s_1</math>, вероятность которого

<math>\bar{n}=P(s_1)=\frac{e^{-(E(s_1)-\mu N(s_1))/kT}}{Z}=\frac{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}}{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1}=\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}.</math>

<math>\bar{n}</math> называется распределением Ферми — Дирака. Для фиксированной температуры <math>T</math>, <math>\bar{n}(\varepsilon)</math> есть вероятность того, что состояние с энергией <math>\varepsilon</math> будет занято фермионом.

Учтём, что энергетический уровень <math>\varepsilon</math> имеет вырождение <math>g_\varepsilon</math>. Теперь можно произвести простую модификацию:

<math>\bar{n}=g_\varepsilon\cdot\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}.</math>

Здесь <math>\bar{n}=\bar{n}(\varepsilon)</math> — ожидаемая доля частиц во всех состояниях с энергией <math>\varepsilon</math>.

Уточнение влияния температуры

Для систем, имеющих температуру <math>T</math> ниже температуры Ферми <math>T_F=E_F/k</math>, а иногда (не вполне правомерно) и для более высоких температур используется аппроксимация <math>\mu\approx E_F</math>. Но в общем случае химический потенциал зависит от температуры — и в ряде задач эту зависимость целесообразно учитывать. Функция <math>\mu</math> представляется с любой точностью степенным рядом по чётным степеням отношения <math>T/T_F<1</math>:

<math>\mu=E_F\sum_Шаблон:N=0,1,2\dots{\left[(-1)^n\frac{\pi^{2n}}{2^{2n}(2n+1)}\left(\frac{kT}{E_F}\right)^{2n}\right]}=E_F\left[1-\frac{\pi^2}{12}\left(\frac{kT}{E_F}\right)^2+\frac{\pi^4}{80}\left(\frac{kT}{E_F}\right)^4+\ldots\right]</math>.

См. также

• Закон Видемана — Франца
• Интеграл Ферми-Дирака
• Распределение Бозе — Эйнштейна
• Распределение Максвелла
• Статистика Бозе — Эйнштейна
• Распределение Ферми — Дирака