Русская Википедия:Статистическая оценка
Статистическая оценка — это статистика, которая используется для оценивания неизвестных параметров распределений случайной величины.
Определение
Например, если <math>X_1,\ldots, X_n</math> — это независимые случайные величины, с заданным нормальным распределением <math>N(\mu,1)</math>, то <math>\mu</math> будет средним арифметическим результатов наблюдений.
Задача статистической оценки формулируется так:
Пусть <math>\xi = (\xi_1, \ldots,\xi_n)</math> — выборка из генеральной совокупности с распределением <math>F_\xi(x,\theta)</math>. Распределение <math>F_\xi</math> имеет известную функциональную форму, но зависит от неизвестного параметра <math>\theta</math>. Этот параметр может быть любой точкой заданного параметрического множества <math>\Theta</math>. Используя статистическую информацию, содержащуюся в выборке <math>\xi</math>, сделать выводы о настоящем значении параметра <math>\theta</math>.
Точечная оценка
Шаблон:Main Оценка является случайной величиной так как представляет собой функцию от случайных величин <math>X_1,\ldots, X_n</math>[1]:
- <math>\hat{\theta} = \hat{\theta}(X_1,\ldots, X_n)</math>
Функция распределения оценки зависит от распределения величины <math>X</math> (и от параметра <math>\theta</math>), а также от размера выборки <math>n</math>.
Оценка <math>\hat{\theta}</math> может обладать рядом «хороших» свойств[1]:
- Состоятельная оценка — при увеличении числа опытов оценка <math>\hat{\theta}</math> сходится по вероятности к параметру <math>\theta</math>
- Несмещённая оценка — если математическое ожидание оценки совпадает с оцениваемым параметром <math>M[\hat{\theta}] = \theta</math>
- Эффективная оценка — если дисперсия несмещённой оценки <math>D[\hat{\theta}]</math> является минимальной по сравнению с другими оценками
На практике не всегда есть возможность получать оценки с заданными свойствами, из-за чего приходится довольствоваться компромиссными вариантами[1].
Интервальная оценка
Шаблон:Main Для оценивания промежутка, на котором лежит оцениваемый параметр <math>\theta</math>, можно использовать следующие методы[2]:
См. также
Примечания
Литература
- Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969.
- Кендалл Морис Дж., Стьюарт Алан. Статистические выводы и связи. — М.: Наука. 1973.
Ссылки
- vseslova — Статистические оценки
- Shao, Jun (1998), Mathematical Statistics, New York: Springer, ISBN 0-387-98674-X
- Bol’shev, L. N. (2001), Statistical Estimator, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
