Русская Википедия:Статическая изотропная метрика
Статическая изотропная метрика — это метрика, определяющая статическое изотропное гравитационное поле. Частным случаем этой метрики является метрика Шварцшильда, на случай пустого (ничем не заполненного) пространства-времени[1].
Определение
Под словами статическое и изотропное понимается следующее: всегда можно найти набор координат близких к координатам Минковского <math>x^1 , x^2 , x^3 , x^0 = t</math>, такой что инваринтное собственное время <math>d\tau^2 =-g_{\mu \nu}dx^\mu dx^\nu </math> не зависит от <math>t</math>, а зависит от <math> \mathbf{x}, \mathbf{dx} </math> только через инварианты группы поворотов: <math> \mathbf{x^2}, \mathbf{x}\cdot\mathbf{dx}, \mathbf{dx^2} </math>. Самый общий вид записи интервала: <math>d \tau^2 = F(r)dt^2 - 2E(r)dt\mathbf{x}\cdot\mathbf{dx} - D(r)(\mathbf{x}\cdot\mathbf{dx})^2 - C(r)\mathbf{dx^2},</math>
где <math>F, E, C, D </math> — неизвестные функции величины <math> r \equiv ( \mathbf{x}\cdot\mathbf{x} )^{1/2}</math>
Сведение к стандартному виду
Выгодно заменить <math>\mathbf{x}</math> сферическими полярными координатами <math>r,\theta,\phi </math>:
- <math>x^1 = r \sin \theta \cos \varphi\,;</math>
- <math>x^2 = r \sin \theta \sin \varphi\, ;</math>
- <math>x^3 = r \cos\varphi\, .</math>
Интервал в таком случае примет вид:
- <math>d \tau^2 = F(r)dt^2 - 2rE(r)dtdr - r^2 D(r)dr^2 - C(r)(dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\varphi^2)</math>,
Мы можем установить наши часы по определению новой временной координаты
- <math>t' \equiv t + \Phi (r)</math>
где <math>\Phi (r)</math> — произвольная функция от <math>r</math>. Это позволяет исключить недиагональных элемент <math>g_{tr}</math>, положив
- <math>\frac{d\Phi}{dr} = - \frac{rE(r)}{F(r)}</math>
Тогда интервал выражается так:
- <math>d \tau^2 = F(r)dt'^2 - r^2 G(r)dr^2 - C(r)(dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\varphi^2)</math>
- <math>G(r)\equiv r^2 \left (D(r)+ \frac{E^2(r)}{F(r)} \right)</math>
Мы можем переопределить радиус <math>r</math> и, тем самым, наложить ещё одно условие на функции <math>F,G,C</math>, например следующим образом <math>r' \equiv r^2C(r)</math> . Тогда мы получим так называемую стандартную форму для статической изотропной метрики:
- <math>d \tau^2 = B(r')dt'^2 - A(r')dr'^2 - r'^2(d\theta^2 +\sin^2\theta d\varphi^2)</math>
где
- <math>B(r)\equiv F(r')</math>
- <math>A(r)\equiv \left(1 + \frac{G(r)}{C(r)}\right)\left( 1 + \frac{r}{2C(r)} \frac{dC(r)}{dr} \right)^{-2}.</math>
После последнего преобразования метрический тензор имеет следующие ненулевые компоненты:
- <math>g_{rr}=A(r)</math>
- <math>g_{\theta \theta}=r^2</math>
- <math>g_{\phi \phi}=r^2 sin^2\theta </math>
- <math>g_{tt}=-B(r)</math>
Где функции <math>A(r)</math> і <math>B(r)</math> должны быть определении путём решения уравнений поля. Так как <math>g_{\mu \nu}</math> — диагональный тензор, легко написать ненулевые компоненты тензора, обратного к нему:
- <math>g^{rr}=A^{-1}(r)</math>
- <math>g^{\theta \theta}=r^{-2}</math>
- <math>g^{\phi \phi}=r^{-2} sin^{-2}\theta </math>
- <math>g^{tt}=-B^{-1}(r)</math>
Символы Кристоффеля и тензор Риччи
Аффинная связность может быть вычислена по обычной формуле:
- <math> \Gamma^s_{ij} = {1 \over 2} \, g^{sk} \left ( \partial_i g_{jk} + \partial_j g_{ki} - \partial_k g_{ij} \right )</math>
Её ненулевые компоненты оказываются равными:
- <math> \Gamma^r_{rr} = \frac{1}{2A(r)}\frac{dA(r)}{dx}</math>,
- <math> \Gamma^r_{\phi \phi} = - \frac{rsin^2\theta}{A(r)}</math>,
- <math> \Gamma^\theta_{r \theta} = \Gamma^\theta_{\theta r} = \frac{1}{r}</math>,
- <math> \Gamma^\phi_{r \phi} = \Gamma^\phi_{\phi r} = \frac{1}{r}</math>,
- <math> \Gamma^r_{\theta \theta} = - \frac{r}{A(r)}</math>,
- <math> \Gamma^r_{tt} = \frac{1}{2A(r)}\frac{dB(r)}{dx}</math>,
- <math> \Gamma^\theta_{\phi \phi} = -sin\theta cos\theta</math>,
- <math> \Gamma^\phi_{\theta \phi} = \Gamma^\phi_{\phi \theta} = ctg\theta </math>,
- <math> \Gamma^t_{tr} = \Gamma^t_{rt} = \frac{1}{2B(r)}\frac{dB(r)}{dx}</math>,
Вычислим также тензор Риччи. Он задаётся выражением
- <math>
R_{\sigma\nu} = {R^\rho}_{\sigma\rho\nu} = {\partial_\rho \Gamma^\rho_{\nu\sigma}} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\rho\sigma} + \Gamma^\rho_{\rho\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\rho\sigma} .</math>
Подставляя ранее полученные компоненты аффинной связности, получим:
- <math>R_{rr} = \frac{B(r)}{2B(r)} - \frac{1}{4} \frac{B'(r)}{B(r)} \left (\frac{A'(r)}{A(r)} + \frac{B'(r)}{B(r)} \right ) - \frac{1}{r} \frac{A'(r)}{A(r)}</math>,
- <math>R_{\theta \theta} = -1 + \frac{r}{2A(r)} \left ( - \frac{A'(r)}{A(r)} + \frac{B'(r)}{B(r)} \right ) + \frac{1}{A(r)}</math>,
- <math>R_{\phi \phi} = sin^2 \theta R_{\theta \theta}</math>,
- <math>R_{tt} = \frac{B(r)}{2A(r)} - \frac{1}{4} \frac{B'(r)}{A(r)} \left (\frac{A'(r)}{A(r)} + \frac{B'(r)}{B(r)} \right ) - \frac{1}{r} \frac{B'(r)}{A(r)}</math>,
(Штрих теперь означает дифференцирование по <math>r</math>). Вследствие инвариантности метрики относительно поворотов компоненты <math>R_{\theta r}</math>, <math>R_{\theta \phi}</math>, <math>R_{\phi r}</math>, <math>R_{\phi t}</math>, <math>R_{\theta t}</math> тождественно равны нулю, а <math>R_{\phi \phi} = sin^2R_{\theta \theta}</math>. Равенство нулю <math>R_{tr}</math> связано с тем, что мы установили наши часы так, что метрика оказалась инвариантна относительно обращения времени <math>t \leftrightarrow -t</math>.
Примечания
