Русская Википедия:Стационарная теория возмущений в квантовой механике

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Falseredirect Стационарная теория возмущений в квантовой механике — теория возмущений, где гамильтониан не зависит от времени. Теория построена Шрёдингером в 1926 году.

Теория применима для достаточно слабых возмущений: <math> H = H_0 + \lambda H_1 </math>, при этом параметр <math> \lambda </math> должен быть настолько маленьким, чтобы возмущение не слишком искажало невозмущённый спектр <math> H^0 </math>.

Невырожденный спектр

В теории возмущений решение представляется в виде разложения

<math>|n\rangle = |n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle +\lambda^2 |n^2\rangle+...,</math>

<math>E_n = E^0_n+\lambda E^1_n + \lambda^2 E^2_n+...</math>

Конечно, должно быть верно уравнение Шрёдингера:

<math> H|n\rangle = E_n|n\rangle.</math>

Подставляя разложение в это уравнение, получим

<math>(H_0+\lambda H_1)(|n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle + \lambda^2 |n^2\rangle +...) = </math>

<math> (E^0_n + \lambda E^1_n + \lambda^2 E^2_n + ... ) ( |n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle + \lambda^2 |n^2\rangle + ...)</math>

Собирая слагаемые одинакового порядка по <math>\lambda</math>, получим последовательности уравнений

<math> H_0 |n^0\rangle = E^0_n|n^0\rangle, </math>

<math>H_0 |n^1\rangle + H_1 |n^0\rangle = E^0_n |n^1\rangle + E^1_n|n^0\rangle, </math>

<math>H_0 |n^2\rangle + H_1 |n^1\rangle = E^0_n |n^2\rangle + E^1_n |n^1\rangle + E^2_n |n^0\rangle.</math>

и т. д. Эти уравнения должны решаться последовательно для получения <math> E^k_n </math> и <math> n^k </math>. Слагаемое с индексом <math> k = 0 </math> — это решение для невозмущённого уравнения Шрёдингера, поэтому говорят также о «приближении нулевого порядка». Аналогично говорят о «приближении k-го порядка», если рассчитывают решение до слагаемых <math> E^k_n </math> и <math> n^k </math>.

Из второго уравнения получаем, что можно определять однозначно решения для <math> n^1 </math> только с дополнительными условиями, так как каждая линейная комбинация <math> n^1 </math> и <math> n^0 </math> является решением. Возникает вопрос о нормализации. Мы можем предположить, что <math>\langle n^0|n^0\rangle = 1</math>, но в то же время из нормировки точного решения следует <math>\langle n|n\rangle = 1</math>. Тогда в первом порядке (по параметру λ) для условия нормировки нужно положить <math>\langle n^0|n^1\rangle +\langle n^1|n^0\rangle=0</math>. Поскольку выбор фазы в квантовой механике произволен, можно без потери общности сказать, что число <math>\langle n^0|n\rangle</math> действительно. Поэтому <math>\langle n^0|n^1\rangle = -\langle n^0|n^1\rangle </math>, и, как следствие, налагаемое дополнительное условие примет вид:

<math>\langle n^0|n^1\rangle = 0.</math>

Так как невозмущённое состояние <math> n^0 </math> должно быть нормируемо, сразу следует

<math>\lambda\langle n^0|n^1\rangle + \lambda^2\langle n^0|n^2\rangle + \lambda^3\langle n^0|n^3\rangle + \ldots = 0</math>

и из этого

<math>\langle n^0|n^k\rangle = \delta_{0k}.</math>

Получаем поправку в первом порядке

<math>E^1_n = \langle n^0| H_1|n^0\rangle,</math>

<math>|n^1\rangle = \sum_{m\neq n} \frac{\langle m^0|H_1|n^0\rangle}{E^0_n-E^0_m}|m^0\rangle,</math>

и для поправки энергии во втором порядке

<math>E^2_n = \sum_{m\neq n} \frac{|\langle m^0|H_1|n^0\rangle|^2}{E^0_n-E^0_m}.</math>