Русская Википедия:Степенная функция
Степенна́я фу́нкция — функция <math>y=x^a</math>, где <math>a</math> (показатель степени) — некоторое вещественное числоШаблон:Sfn[1]. К степенным часто относят и функцию вида <math>y=kx^a</math>, где <math>k</math> — некоторый (ненулевой) коэффициентШаблон:Sfn. Существует также комплексное обобщение степенной функцииШаблон:Переход.
Степенная функция является частным случаем многочлена. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.
Вещественная функция
Область определения
Для целых положительных показателей <math>a</math> степенную функцию можно рассматривать на всей числовой прямой, тогда как для отрицательных <math>a</math>, функция не определена в нуле (нуль является её особой точкой)Шаблон:Sfn.
Для рациональных <math>a=\frac{p}{q}\ (q>0)</math> область определения зависит от чётности <math>q</math> и от знака <math>p.</math> так как <math>x^a = \sqrt[q]{x^p}.</math>:
- Если <math>q</math> нечётно и <math>p>0</math>, то <math>x^{p/q}</math> определён на всей числовой прямой.
- Если <math>q</math> нечётно и <math>p<0</math>, то <math>x^{p/q}</math> определён на всей числовой прямой, кроме нуля.
- Если <math>q</math> чётно и <math>p>0</math>, то <math>x^{p/q}</math> определён при неотрицательных <math>x.</math>
- Если <math>q</math> чётно и <math>p<0</math>, то <math>x^{p/q}</math> определён при положительных <math>x.</math>
Для вещественного показателя <math>a</math> степенная функция <math>x^a</math>, вообще говоря, определена только при <math>x>0.</math> Если <math>a>0,</math> то функция определена и в нулеШаблон:Sfn.
Целочисленный показатель степени
Графики степенной функции <math>y=x^n</math> при целочисленном показателе <math>n</math>:
-
Параболы порядка n:Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда -
Гиперболы порядка n:Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда
При нечётном <math>n</math> графики центрально-симметричны относительно начала координат, в котором имеет точку перегиба. При чётном <math>n</math> степенная функция чётна: <math>(-x)^n = x^n,</math> её график симметричен относительно оси ординат[2].
Графики степенной функции при натуральном показателе <math>n>1</math> называются параболами порядка <math>n</math>. При чётном <math>n</math> функция всюду неотрицательна (см. графики). При <math>n=1</math> получается функция <math>y=kx</math>, называемая линейной функцией или прямой пропорциональной зависимостью[3]Шаблон:Sfn.
Графики функций вида <math>y=x^{-n} = \frac{1}{x^n}</math>, где <math>n</math> — натуральное число, называются гиперболами порядка <math>n</math>. При нечётном <math>n</math> оси координат являются асимптотами гипербол. При чётном <math>n</math> асимптотами являются ось абсцисс и положительное направление оси ординат (см. графики)[4]. При показателе <math>-1</math> получается функция <math>y=\frac {k}{x}</math>, называемая обратной пропорциональной зависимостью[3][2].
При <math>a=0</math> функция вырождается в константу: <math>y=1.</math>
Рациональный показатель степени
-
Графики степенных функций с рациональным показателем
-
Полукубические параболы <math>y=ax^{3/2}</math>
Возведение в рациональную степень <math>p/q</math> определяется формулой:
- <math>x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p}.</math>
Если <math>p=1</math>, то функция представляет собой арифметический корень степени <math>q</math>:
- <math>y=x^{1/q} = \sqrt[q]x.</math>
Пример: из третьего закона Кеплера непосредственно вытекает, что период <math>T</math> обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью <math>A</math> её орбиты соотношением: <math>T=kA^{3/2}</math> (полукубическая парабола).
Свойства
Монотонность
В интервале <math>(0, \infty)</math> функция монотонно возрастает при <math>a>0</math> и монотонно убывает при <math>a<0.</math> Значения функции в этом интервале положительны[3].
Аналитические свойства
Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определенаШаблон:Sfn.
Производная функции: <math> \left( x^a \right)^\prime = a x^{a-1}</math>.
Ноль, вообще говоря, является особой точкой. Так, если <math>a < n</math>, то <math>n</math>-я производная в нуле не определена. Например, функция <math>y=\sqrt{x} = x^{1/2}</math> определена в нуле и в его правой окрестности, но её производная <math>y=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math> в нуле не определена.
Неопределённый интегралШаблон:Sfn:
- Если <math>a \ne -1</math>, то <math> \int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C </math>
- При <math>a = -1</math> получаем: <math> \int \frac {1} {x} dx = \ln |x| + C </math>
Таблица значений малых степеней
| n | n2 | n3 | n4 | n5 | n6 | n7 | n8 | n9 | n10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
| 3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число |
| 4 | 16 | 64 | 256 | 1024 | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число |
| 5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число |
| 6 | 36 | 216 | 1296 | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число |
| 7 | 49 | 343 | 2401 | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число |
| 8 | 64 | 512 | 4096 | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число |
| 9 | 81 | 729 | 6561 | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число |
| 10 | 100 | 1000 | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число | Шаблон:Число |
Комплексная функция
Степенная функция комплексного переменного <math>z</math> в общем виде определяется формулойШаблон:Sfn:
- <math> y=z^c=e^{c \cdot \operatorname{Ln} (z)} </math>
Здесь показатель степени <math>c</math> — некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение <math>i^i</math> равно <math>e^{-(4 k+1)\frac{\pi}{2}},</math> где <math>k</math> — произвольное целое, а его главное значение есть <math>e^{i\ln(i)}=e^{-\frac{\pi}{2}}.</math>
Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.
- При натуральном показателе степени функция <math> y=z^n</math> однозначна и n-листна[5].
- Если показатель степени — положительное рациональное число, то есть (несократимая) дробь <math>\frac{p}{q}</math>, то у функции будет <math>q</math> различных значений[6].
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
- ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука,1978. Стр. 312.
- ↑ 2,0 2,1 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокMESне указан текст - ↑ 3,0 3,1 3,2 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокMEне указан текст - ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокFICH2не указан текст
