Русская Википедия:Степенной закон
В статистике степенной закон (Шаблон:Lang-en) — это такая функциональная зависимость между двумя величинами, при которой относительное изменение одной величины приводит к пропорциональному относительному изменению другой величины, независимо от исходных значений этих величин: зависимость одной величины от другой представляет собой степенную функцию. Например, рассмотрим зависимость площади квадрата от длины его стороны. Если длина будет увеличена вдвое, то площадь увеличится вчетверо.[1]
Примеры из практики
Во многих физических, биологических и искусственных явлениях наблюдаются распределения, приблизительно соответствующие степенному закону в различных масштабах: например, размеры лунных кратеров и солнечных вспышек[2], закономерности питания разных видов[3], активность популяций нейронов[4], частота употребления слов в большинстве языков, распространённость фамилий, число видов в кладах организмов[5], масштабы аварий в энергосистемах, число уголовных обвинений на одного преступника, количество извержений вулканов[6], человеческие оценки интенсивности стимулов[7][8] и многие другие величиныШаблон:Sfn. Эмпирические распределения могут соответствовать степенному закону во всём диапазоне своих значений, либо, например, в хвосте. Затухание звуковых колебаний следует степенному закону в широких полосах частот во многих сложных средах. Аллометрические закономерности для отношений между биологическими переменными являются одними из самых известных примеров степенных законов в природе.
Свойства
Масштабная инвариантность
Для степенного закона характерна масштабная инвариантность. Если выполняется <math>f(x) = ax^{-k}</math>, то масштабирование аргумента <math>x</math> на постоянный коэффициент <math>c</math> приведёт к пропорциональному масштабированию самой функции. То есть:
- <math>f(c x) = a(c x)^{-k} = c^{-k} f(x) \propto f(x),\!</math>
где <math>\propto</math> обозначает прямую пропорциональность. Иными словами, умножение аргумента на постоянную величину <math>c</math> приводит просто к умножению значения функции на постоянную величину <math>c^{-k}</math>. Таким образом, все степенные законы с заданным показателем степени эквивалентны с точностью до умножения на константу, поскольку все они представляют собой лишь масштабированные версии друг друга. Это порождает линейную зависимость между логарифмами величин <math>f(x)</math> и <math>x</math>, и прямую линию на графике в двойном логарифмическом масштабе (log-log), которую часто считают характерным признаком степенного закона. В реальных данных это признак является необходимым, но не достаточным, чтобы сделать вывод о наличии степенного закона. Существует много способов сгенерировать конечные объёмы данных, имитирующих соответствие степенному закону, но отклоняющихся от него в асимптотическом пределе (например, если процесс генерации данных следует логнормальному распределению). Проверка моделей на соответствие степенному закону является актуальной областью исследований в статистике, см. ниже.
Отсутствие строго определённого среднего значения
Степенной закон <math>x^{-k}</math> имеет строго определённое среднее значение при <math>x \in [1,\infty)</math>, только если <math> k > 2 </math>, и имеет конечную дисперсию, только если <math>k >3</math>. Для большинства известных степенных законов в природе значения показателя степени таковы, что среднее значение является строго определённым, а дисперсия нет, поэтому для них существует возможность возникновения событий типа «чёрный лебедь».[9] Это можно показать на примере следующего мысленного эксперимента:[10] представьте себя в комнате с друзьями и оцените среднемесячный доход в этой комнате. Теперь представьте, что в эту комнату вошёл самый богатый человек в мире с месячным доходом около 1 миллиарда US$. Как изменится значение среднемесячного дохода в комнате? Распределение доходов следует степенному закону, известному как распределение Парето (например, капиталы американцев распределены по степенному закону с показателем степени 2).
С одной стороны, это не позволяет корректно применять традиционную статистику, основанную на дисперсии и среднеквадратическом отклонении (например, регрессионный анализ). С другой стороны, это позволяет осуществлять эффективное по затратам вмешательство.[10] К примеру, пусть выхлопные газы автомобилей распределены по степенному закону среди автомобилей (то есть большинство загрязнений осуществляется очень небольшим числом автомобилей). Тогда будет достаточно убрать с дорог это небольшое число автомобилей, чтобы существенно снизить общее количество выбросов.[11]
Медиана существует: для степенного закона x -k с показателем степени <math>k > 1</math> она принимает значение 21/(k — 1)xmin, где xmin — это минимальное значение, для которого выполняется степенной закон[12]
Проверка на соответствие степенному закону
Хотя степенной закон привлекателен по многим теоретическим причинам, доказательство того, что данные и в самом деле следуют степенному закону, требует больше, чем простого подбора параметров модели.[13] Важно понимать механизм возникновения распределения: внешне похожие распределения могут возникать по существенно различным причинам, а разные модели дают разные прогнозы, например при экстраполяции.[14][15]
См. также
Шаблон:Col-begin Шаблон:Col-break
Шаблон:Col-break Шаблон:Col-end
Примечания
Литература
- Bak, Per (1997) How nature works, Oxford University Press Шаблон:Isbn
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
Ссылки
- Zipf’s law Шаблон:Wayback
- Zipf, Power-laws, and Pareto — a ranking tutorial
- Stream Morphometry and Horton’s Laws
- Clay Shirky on Institutions & Collaboration: Power law in relation to the internet-based social networks
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокNewmanне указан текст - ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Stevens, S. S. (1957). On the psychophysical law. Psychological Review, 64, 153—181
- ↑ Staddon, J. E. R. (1978). Theory of behavioral power functions. Psychological Review, 85, 305—320.
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ 10,0 10,1 9na CEPAL Charlas Sobre Sistemas Complejos Sociales (CCSSCS): Leyes de potencias, https://www.youtube.com/watch?v=4uDSEs86xCI Шаблон:Wayback
- ↑ Malcolm Gladwell (2006), Million-Dollar Murray; Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокHallне указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокStumpfне указан текст
