Русская Википедия:Степенной ряд
Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:
- <math>F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n,</math>
в котором коэффициенты <math>{a_n}</math> берутся из некоторого кольца <math>{R}</math>.
Пространство степенных рядов
Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из <math>{R}</math> обозначается <math>RX</math>. Пространство <math>RX</math> имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом <math>{R}</math> (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо <math>{R}</math>). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.
В <math>RX</math> определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть
- <math>F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n, G(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nX^n, H(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nX^n.</math>
Тогда:
- <math>H = F + G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = a_n + b_n</math>
- <math>H = F \,\cdot\, G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = \sum\limits_{k+l=n}a_k b_l</math>
- <math>H = F \circ G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = \sum\limits_{s=1}^n a_s \sum\limits_{k_1+\dots+k_s=n}b_{k_1}b_{k_2}\dots b_{k_s}</math> (при этом необходимо, чтобы соблюдалось <math>b_0=0</math>)
- <math>H = F' \Leftrightarrow \forall n \, c_n = (n+1)a_{n+1}</math>
Сходимость степенных рядов
Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путём приписывания формальной переменной <math>{X}</math> какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).
Признаки сходимости
Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.
- Первая теорема Абеля: Пусть ряд <math>\Sigma \,a_n x^n</math> сходится в точке <math>{x_0}</math>. Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге <math>{|x|<|x_0|}</math> и равномерно по <math>{x}</math> на любом компактном подмножестве этого круга.
Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при <math>{x=x_0}</math>, он расходится при всех <math>{x}</math> таких, что <math>{|x|>|x_0|}</math>. Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга <math>{R}</math> (возможно, нулевой или бесконечный), что при <math>{|x|<R}</math> ряд сходится абсолютно (и равномерно по <math>x</math> на компактных подмножествах круга <math>{|x|<R}</math>), а при <math>{|x|>R}</math> — расходится. Это значение <math>R</math> называется радиусом сходимости ряда, а круг <math>{|x|<R}</math> — кругом сходимости.
- Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда (если верхний предел существует и положителен, теорема Адамара о степенном ряде) может быть вычислено по формуле:
- <math> {1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |a_n|^{1/n}</math>
(По поводу определения верхнего предела <math>\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}</math> см. статью «Частичный предел последовательности».)
Пусть <math>F(x)</math> и <math>G(x)</math> — два степенных ряда с радиусами сходимости <math>{R_F}</math> и <math>{R_G}</math>. Тогда
- <math>R_{F+G} \ge \min \{R_F,\, R_G\}</math>
- <math>R_{F\cdot G} \ge \min \{R_F, R_G\}</math>
- <math>R_{F'}\, = \,R_F</math>
Если у ряда <math>G(x)</math> свободный член нулевой, тогда
- <math>R_{F\circ G} \ge {R_F \over {R_F+1}}R_G</math>
Вопрос о сходимости ряда в точках границы <math>{|x|=R}</math> круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:
- Признак Д’Аламбера: Если при <math>n>N</math> и <math>\alpha>1</math> выполнено неравенство
- <math>\left| {a_n \over a_{n+1}} \right|\ge R \left(1 + {\alpha \over n}\right)</math>
- тогда степенной ряд <math>\Sigma \,a_n x^n</math> сходится во всех точках окружности <math>{|x|=R}</math> абсолютно и равномерно по <math>x</math>.
- Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда <math>\Sigma \,a_n x^n</math> положительны и последовательность <math>a_n</math> монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности <math>{|x|=1}</math>, кроме, быть может, точки <math>{x=1}</math>.
Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра <math>x</math> является предметом изучения теории аналитических функций.
- См.также
Вариации и обобщения
Степенной ряд от n переменных — это формальное алгебраическое выражение вида:
- <math>F(X_1,X_2,\dots,X_n) = \sum\limits_{k_1,k_2,\dots,k_n=0}^{+\infty} a_{k_1,k_2,\dots,k_n}X_1^{k_1}X_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}</math>
или, в мультииндексных обозначениях,
- <math>F(X) = \sum\limits_{\alpha}a_{\alpha}X^{\alpha},</math>
где <math>X</math> — это вектор <math>X=(X_1,X_2,\dots,X_n)</math>, <math>\alpha</math> — мультииндекс <math>\alpha = (k_1, k_2, \dots, k_n)</math>, <math>X^{\alpha}</math> — одночлен <math>X^{\alpha} = X_1^{k_1}X_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}</math>. Пространство степенных рядов от <math>n</math> переменных и коэффициентами из <math>R</math> обозначается <math>RX_1,X_2,\dots,X_n</math>. В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования по каждой переменной и <math>n</math>-местной суперпозиции. Пусть
- <math>F(X) = \sum\limits_{\alpha}a_{\alpha}X^{\alpha}, G(X) = \sum\limits_{\alpha} b_{\alpha}X^{\alpha}, H(X) = \sum\limits_{\alpha}c_{\alpha}X^{\alpha}.</math>
Тогда:
- <math>H = F + G \Leftrightarrow \forall {\alpha} \, c_{\alpha} = a_{\alpha} + b_{\alpha}</math>
- <math>H = F \,\cdot\, G \Leftrightarrow \forall {\alpha} \, c_{\alpha} = \sum\limits_{\beta+\gamma=\alpha} a_{\beta} b_{\gamma}</math>
- <math>H = {\partial F \over \partial X_i} \Leftrightarrow \forall (k_1, k_2, \dots, k_n) \, c_{k_1, k_2, \dots, k_n} = (k_i+1)a_{(k_1, k_2, \dots, k_i+1, \dots, k_n)}</math>
См.также
