Русская Википедия:Степень трансцендентности
Степень трансцендентности — максимальное число алгебраически независимых элементов в расширении поля. Степень трансцендентности даёт возможность измерения величины расширения.
Определение
Пусть <math>L/K</math> — расширение поля <math>K</math> до поля <math>L.</math> Рассмотрим всевозможные алгебраически независимые подмножества поля <math>L</math> над полем <math>K.</math> Степень трансцендентности данного расширения определяется как наибольшая мощность среди таких подмножеств.
Обычно обозначается <math>\mathrm{trdeg}_K L</math> или <math>\mathrm{trdeg}(L/K).</math>
Замечания
Если алгебраически независимых элементов в расширенном поле <math>L</math> нет, то множество их пусто, и степень трансцендентности равна нулю. Таким образом, нулевая степень трансцендентности означает, что данное расширение является алгебраическим. Если же степень трансцендентности не нулевая, то в <math>L</math> существуют «трансцендентные» (не алгебраические по отношению к исходному полю) элементы.
Связанные понятия
Подмножество <math>S</math> из <math>L</math> называется базисом трансцендентности расширения <math>L/K,</math> если:
- элементы <math>S</math> алгебраически независимы над <math>K;</math>
- базис полон, то есть <math>L</math> является алгебраическим расширением поля <math>K(S),</math> полученного присоединением элементов <math>S</math> к полю <math>K.</math>
Можно показать, что для любого заданного расширения поля базисы трансцендентности существуют (в доказательстве используется аксиома выбора), причём все они имеют одинаковую мощность, равную степени трансцендентности. Базисы трансцендентности — полезный инструмент для доказательства различных теорем существования про гомоморфизмы полей.
Расширение поля <math>L/K</math> называется чисто трансцендентным, если в <math>L</math> существует подмножество <math>S</math> алгебраически независимых над <math>K</math> элементов такое, что <math>K(S)=L.</math>
Примеры
- Для расширения поля рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> до поля вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math> степень трансцендентности есть континуум. Это следует из того, что множество алгебраических чисел счётно.
- Поле рациональных функций <math>n</math> переменных <math>K(x_1\dots x_n)</math> над полем <math>K</math> является чисто трансцендентным расширением <math>K.</math> Его степень трансцендентности равна <math>n,</math> а в качестве базиса трансцендентности можно взять <math>\{x_1,x_2,\dots, x_n\}.</math>
- Поле <math>\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \pi)</math> является расширением поля <math>\mathbb{Q}</math> со степенью трансцендентности 1, потому что <math>\sqrt2</math> является алгебраическим числом, а <math>\pi</math> — трансцендентным.
- Поле <math>\mathbb{Q}(\pi, e)</math> также является расширением поля <math>\mathbb{Q},</math> его степень трансцендентности не определена (либо 1, либо 2), поскольку неизвестно, являются ли константы <math>\pi</math> и <math>e</math> алгебраически независимыми.
Свойства
Если мы имеет двукратное расширение поля: <math>M \supset L \supset K,</math> то степень трансцендентности <math>M/K</math> равна (теоретико-множественной) сумме степеней трансцендентности <math>L/K</math> и <math>M/L.</math> Базис трансцендентности <math>M/K</math> получается объединением базисов трансцендентности для <math>L/K</math> и <math>M/L.</math>
Литература
- Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
- Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, том 1. М: Иностранная литература, 1963.
- Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1967.
Ссылки
- Кузьмин Л. В. Трансцендентное расширение
