Русская Википедия:Стохастический интеграл
Стохастический интеграл — интеграл вида <math>\int f(t) dy(t)</math>, где <math>{y(t), t \in T}</math> — случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл СтилтьесаШаблон:Sfn.
Стохастический интеграл от детерминированной функции
Введем гильбертово пространство <math>H</math> случайных величин <math>\xi</math>, <math>\mathbb{E}|\xi^2| < \infty</math>, со скалярным произведением <math>(\xi_1, \xi_2) = \mathbb{E} \xi_1 \bar{\xi_2}</math> и среднеквадратичной нормой <math>\left \| \xi_1 \right \| = \left ( \mathbb{E} \left | \xi \right |^2 \right )^{1/2}</math>. Здесь <math>\mathbb{E}</math> - обозначает математическое ожидание. В рамках гильбертова пространства можно описать важнейшие характеристики случайных величин, такие как условные математические ожидания, условные вероятности и т.д.Шаблон:Sfn
Пусть <math>T</math> - конечный или бесконечный отрезок действительной прямой и на его полуинтервалах вида <math>\Delta = \left ( s, t \right ] \subseteq T</math> задана стохастическая аддитивная функция <math>\eta(\Delta)</math> с ортогональными значениями из гильбертова пространства <math>H</math> случайных величин <math>\xi</math>, <math>\mathbb{E}|\xi^2| < \infty</math>, обладающая свойствами:
- Для любых непересекающихся <math>\Delta_{1}</math>, <math>\Delta_{2}</math>, величины <math>\eta(\Delta_{1})</math>,<math>\eta(\Delta_{2})</math> являются ортогональными, то есть их скалярное произведение в гильбертовом пространстве равно нулю: <math>\left ( \eta(\Delta_{1}), \eta(\Delta_{2}) \right ) = 0</math>
- Если <math>\Delta_{1}</math>, <math>\Delta_{2}</math> являются непересекающимися полуинтервалами и <math>\Delta_{1} \cup \Delta_{2}</math> составляет полуинтервал, то <math>\eta(\Delta_{1} \cup \Delta_{2}) = \eta(\Delta_{1}) + \eta(\Delta_{2})</math>
- <math>\left \| \eta(\Delta) \right \|^{2} = \left | \Delta \right |</math>. Здесь <math>\left \| \right \|</math> - норма в гильбертовом пространстве, <math>\left | \Delta \right | = t - s</math> при <math>\Delta = \left ( s, t \right ]</math>.
Пусть <math>\varphi(t)</math> детерминированная функция, удовлетворяющая условию <math>\int_{T} \left | \varphi(t) \right |^2 dt < \infty</math>. Рассмотрим последовательность кусочно-постоянных функций <math>\varphi_{n}(t)</math>, аппроксимирующих функцию <math>\varphi(t)</math> так, что <math>\lim_{n \to \infty} \int_{T} \left | \varphi(t) - \varphi_{n}(t) \right |^2 dt \to 0</math>,
Стохастическим интегралом <math>\int_{T} \varphi(t) \eta(dt)</math> от детерминированной функции <math>\varphi(t)</math> называется пределШаблон:Sfn <math>\int_{T} \varphi(t) \eta(dt) = \lim_{n \to \infty} \int_{T} \varphi_{n}(t) \eta(dt)</math>
Стохастический интеграл от стохастического процесса
Рассмотрим интеграл
- <math>\int_0^T \omega(t) d\omega(t),</math>
где <math>{\omega(t), t \in T}</math> — винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал <math>[0; T]</math> точками <math>0=t_1, t_2, ..., t_N, t_{N+1}=T</math> на <math>N</math> подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выраженийШаблон:Sfn:
- <math>I_0=\lim \sum^{N}_{i=1}\omega(t_i)[\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]</math> или <math>I_1=\lim \sum^{N}_{i=1}\omega(t_{i+1})[\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)].</math>
Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процессаШаблон:Sfn
- <math>I_1-I_0=\lim \sum^{N}_{i=1}[\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]^2=t.</math>
Обобщенный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру <math>\lambda</math> сумму интегралов <math>I_0</math> и <math>I_1</math> следующей формулойШаблон:Sfn:
- <math>I_\lambda=(1 - \lambda)I_0+\lambda I_1=\lim \sum^N_{i=1}[(1-\lambda)\omega(t_i)+\lambda\omega(t_{i+1})][\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)],</math>
при <math>0 \leqslant \lambda \leqslant 1</math>. Интеграл <math>I_0</math> соответствует интегралу Ито, а <math>I_{0,5}</math> совпадает с интегралом Стратоновича.
Интеграл Стратоновича
Интеграл Стратоновича имеет видШаблон:Sfn
- <math>I=\lim_{N\to \infty} \dfrac{1}{2} \sum^{N}_{i=1} [f(t_i)+f(t_{i+1})] [y(t_{i+1})-y(t_i)].</math>
Интеграл Ито
Интеграл Ито имеет видШаблон:Sfn
- <math>\int f(t) dy(t)=\lim_{N\to \infty} \sum^{N}_{i=1}f(t_i)[y(t_{i+1})-y(t_i)].</math>
Его основные свойстваШаблон:Sfn:
- <math>E \int f(t) dy(t) = \int { E f(t) } dm(t).</math>
- <math>cov \left[ \int f(t) dy(t), \int g(t) dy(t) \right] = \int [ E f(t) g(t) ] dr(t).</math>
Здесь <math>m(t)</math> — функция среднего значения, <math>r(t)</math> — ковариационная функция.
Интеграл Винера
Поставим в соответствие каждой траектории одномерного винеровского процесса некоторое число <math>\alpha</math>. Тогда эту траекторию можно описать посредством стохастической функции <math>x(t, \alpha)</math>. Интеграл вида
- <math>\int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha)</math>
называется стохастическим интегралом Винера. Этот интеграл вычисляется интегрированием по частям с учётом равенства <math>x(0,\alpha)=0</math>Шаблон:Sfn:
- <math>\int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha) = f(1)x(1, \alpha) - \int\limits_0^1 f'(t) x(t,\alpha)dt.</math>
Его основные свойства:
- <math>\int\limits_0^1 d\alpha \int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha) = 0 </math>Шаблон:Sfn.
- <math>\int\limits_0^1 d\alpha \left[ \int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha) \right]^2 = \int\limits_0^1 f^{2}(t)dt</math>Шаблон:Sfn.
См. также
Примечания
Литература
Шаблон:Интегральное исчисление
