Русская Википедия:Стохастическое дифференциальное уравнение

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) — дифференциальное уравнение, в котором один член или более имеют стохастическую природу, то есть представляют собой стохастический (случайный) процесс. Таким образом, решения уравнения также оказываются стохастическими процессами. Наиболее известный и часто используемый пример СДУ — уравнение с членом, описывающим белый шум (который можно рассматривать как пример производной винеровского процесса). Однако существуют и другие типы случайных флуктуаций, например скачкообразный процесс.

История

В литературе традиционно первое использование СДУ связывают с работами по описанию броуновского движения, сделанными независимо Марианом Смолуховским (1904 г.) и Альбертом Эйнштейном (1905 г.). Однако СДУ были использованы чуть ранее (1900 г.) французским математиком Луи Башелье в его докторской диссертации «Теория предположений». На основе идей этой работы французский физик Поль Ланжевен начал применять СДУ в работах по физике. Позднее он и российский физик Руслан Стратонович разработали более строгое математическое обоснование для СДУ.

Терминология

В физике СДУ традиционно записывают в форме уравнения Ланжевена. И часто, но не совсем точно, называют самим уравнением Ланжевена, хотя СДУ можно записать многими другими способами. СДУ в форме уравнения Ланжевена состоит из обычного нестохастического дифференциального уравнения и дополнительной части, описывающей белый шум. Вторая распространенная форма — уравнение Фоккера-Планка, которое представляет собой уравнение в частных производных и описывает эволюцию плотности вероятности во времени. Третья форма СДУ чаще используется в математике и финансовой математике, она напоминает уравнения Ланжевена, но записана с использованием стохастических дифференциалов (см. подробности ниже).

Стохастическое исчисление

Броуновское движение (на языке математики — винеровский процесс) оказалось очень сложным математическим объектом. В частности, винеровский процесс недифференцируем, поэтому манипулирование с процессами такого типа потребовало создания собственного исчисления (теория стохастических интегралов). В настоящее время используются две версии стохастического исчисления — стохастическое исчисление Ито и стохастическое исчисление Стратоновича. Обычно СДУ в форме Ито без труда можно переписать в СДУ в форме Стратоновича и обратно, однако всегда нужно явно уточнять, в какой форме записано СДУ.

Существование и единственность решения

Так же как и для обычных дифференциальных уравнений, важно знать имеет ли СДУ решение и, если имеет, единственно ли это решение. Приведем формулировку теоремы существования и единственности для уравнения Ито. Доказательство можно найти в Øksendal (2003, § 5.2).

Пусть решение принимает значения в <math>n</math>-мерном эвклидовом пространстве <math>\mathbb{R}^n</math>, где определён <math>m</math>-мерный случайный процесс <math>B</math>, описывающий броуновское движение;

Пусть <math>T>0</math>, и пусть

<math>\mu : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n};</math>
<math>\sigma : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n \times m};</math>

— измеримые функции, для которых существуют константы <math>C</math> и <math>D</math> такие, что

<math>\big| \mu (x, t) \big| + \big|\big| \sigma (x, t) \big|\big| \leq C \big( 1 + | x | \big);</math>
<math>\big| \mu (x, t) - \mu (y, t) \big| + \big|\big| \sigma (x, t) - \sigma (y, t) \big|\big| \leq D | x - y |;</math>

для всех <math>t\in [0, T]</math> и всех <math>x</math> и <math>y\in\mathbb{R}^n</math>, где

<math>| \sigma |^{2} = \sum_{i, j = 1}^{n} | \sigma_{ij} |^{2}.</math>

Пусть <math>Z</math> — случайная переменная, независимая от <math>\sigma</math>-алгебры, генерируемой процессом <math>B_s</math>, <math>s\ge 0</math>, и имеющая конечный второй момент:

<math>\mathbb{E} \big[ | Z |^{2} \big] < + \infty.</math>

Тогда стохастическое дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях

<math>\mathrm{d} X_{t} = \mu (X_{t}, t) \, \mathrm{d} t + \sigma (X_{t}, t) \, \mathrm{d} B_{t}</math> для <math>t \in [0, T];</math>
<math>X_{t} = Z;</math>

имеет единственное (в смысле «почти наверное») и <math>t</math>-непрерывное решение <math>(t, \omega)\shortmid\!\to X_t (\omega)</math>, такое что <math>X</math> — адаптированный процесс к фильтрации <math>F_t^Z</math>, генерируемое <math>Z</math> и <math>B_s</math>, <math>s\le t</math>, и

<math>\mathbb{E} \left[ \int\limits_{0}^{T} | X_{t} |^{2} \, \mathrm{d} t \right] < + \infty.</math>

Применение стохастических уравнений

Физика

В физике СДУ часто записывают в форме уравнения Ланжевена. Например, систему СДУ первого порядка можно записать в виде:

<math>\dot{x}_i = \frac{dx_i}{dt} = f_i(\mathbf{x}) + \sum_{m=1}^ng_i^m(\mathbf{x})\eta_m(t),</math>

где <math>\mathbf{x}=\{x_i|1\le i\le k\}</math> — набор неизвестных, <math>f_i</math> и <math>g_i</math> — произвольные функции, а <math>\eta_m</math> — случайные функции от времени, которые часто называют шумовыми членами. Такая форма записи используется, так как существует стандартная техника преобразования уравнения со старшими производными в систему уравнений первого порядка с помощью введения новых неизвестных. Если <math>g_i</math> — константы, то говорят, что система подвержена аддитивному шуму. Также рассматривают системы с мультипликативным шумом, когда <math> g(x) \propto x</math>. Из этих двух рассмотренных случаев аддитивный шум — проще. Решение системы с аддитивным шумом часто можно найти используя только методы стандартого математического анализа. В частности, можно использовать обычный метод композиции неизвестных функций. Однако, в случае мультипликативного шума уравнение Ланжевена плохо определено в смысле обычного математического анализа и его необходимо интерпретировать в терминах исчисления Ито или исчисления Стратоновича.

В физике основным методом решения СДУ является поиск решения в виде плотности вероятности и преобразование первоначального уравнения в уравнение Фоккера — Планка. Уравнение Фоккера — Планка — дифференциальное уравнение в частных производных без стохастических членов. Оно определяет временную эволюцию плотности вероятности, также как уравнение Шрёдингера определяет зависимость волновой функции системы от времени в квантовой механике или уравнение диффузии задает временную эволюцию химической концентрации. Также решения можно искать численно, например с помощью метода Монте-Карло. Другие техники нахождения решений используют интеграл по путям, эта техника базируется на аналогии между статистической физикой и квантовой механикой (например, уравнение Фоккера-Планка можно преобразовать в уравнение Шрёдингера с помощью некоторого преобразования переменных), или решением обыкновенных дифференциальных уравнений для моментов плотности вероятности.

Ссылки

Литература

Внешние ссылки


Шаблон:Выбор языка Шаблон:Математическая физика

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Стохастическое_дифференциальное_уравнение&oldid=10874200