Русская Википедия:Стохастическое исчисление Ито
Исчисление Ито — математическая теория, обобщающая методы математического анализа для применения к случайным процессам, таким как броуновское движение (см. также винеровский процесс). Названа в честь создателя, японского математика Киёси Ито. Часто применяется в финансовой математике и теории стохастических дифференциальных уравнений. Центральным понятием этой теории является интеграл Ито:
- <math>Y_t=\int\limits_0^t H_s\,dX_s,</math>
где <math>H_s</math> — процесс, локально Шаблон:Нп3 и Шаблон:Нп3 под фильтрацию, порождённую процессом <math>X_s</math>, который, в свою очередь, является броуновским движением или, в более общей формулировке, Шаблон:Нп3Шаблон:Sfn. Можно показать, что к траекториям броуновского движения неприменимы стандартные методы интегрального исчисления. В частности, броуновское движение не является дифференцируемой функцией ни в одной точке траектории и имеет бесконечную вариацию по любому временному интервалу. Таким образом, интеграл Ито не может быть определен в смысле интеграла Римана — Стилтьеса. Однако, интеграл Ито можно определить корректно, если подынтегральная функция <math>H_s</math> является адаптированным процессом, то есть её значение в момент времени <math>t</math> зависит только от информации, доступной до этого момента времени.
Поведение стоимости акций и других финансовых активов можно промоделировать такими стохастическими процессами, как броуновское движение или более часто применяющееся геометрическое броуновское движение (см. также модель Блэка — Шоулза). В этом случае стохастический интеграл Ито представляет собой прибыль от непрерывной во времени рыночной стратегии, в которой в момент времени <math>t</math> у участника рынка имеется <math>H_t</math> ценных бумаг. В такой ситуации условие адаптированности процесса <math>H</math> соответствует необходимому ограничению модели, заключающемуся в том, что рыночную стратегию в каждый момент времени можно основывать только на имеющейся в данный момент информации. Это условие предотвращает возможность поступления неограниченной прибыли посредством очень частой торговли, покупки акций перед каждым подъёмом стоимости и их продажи перед каждым падением. Более того, условие адаптированности подынтегрального процесса обеспечивает корректность определения стохастического интеграла как предела римановых суммШаблон:Sfn.
Примеры важных результатов теории Ито — формула интегрирования по частям и формула Ито (формула замены переменной в интеграле). Эти формулы отличаются от классических формул анализа наличием слагаемых, соответствующих Шаблон:Нп3.
Обозначения
Определённый выше интеграл <math>Y</math> процесса <math>H</math> относительно процесса <math>X</math>, равный
- <math>Y_t = \int\limits_0^t H\,dX\equiv\int\limits_0^t H_s\,dX_s,</math>
также является стохастическим процессом, зависящим от времени <math>t</math> и иногда записывающимся как <math>H \cdot X</math>Шаблон:Sfn.
Альтернативным способом записи интеграла <math>Y</math> является дифференциальная форма <math>dY = H dX</math> и её эквивалентный вариант <math>Y - Y_0 = H \cdot X</math>.
Поскольку исчисление Ито изучает непрерывные стохастические процессы, предполагается, что определено вероятностное пространство с фильтрацией:
- <math>(\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t)_{t\ge 0},\mathbb{P})</math>
σ-алгебра <math>\mathcal{F}_t</math> символизирует информацию, доступную к моменту времени <math>t</math>. Процесс <math>X</math> является адаптированным, если <math>X_t</math> измерим в данной σ-алгебре. Броуновское движение <math>B</math> в данном случае понимается как <math>\mathcal{F}_t</math>-броуновское, то есть стандартное броуновское движение, которое измеримо в <math>\mathcal{F}_t</math> и для которого <math>B_{t+s} - B_t</math> не зависит от <math>\mathcal{F}_t</math> для любых <math>s, t \geqslant 0</math>Шаблон:Sfn.
Интегрирование относительно броуновского движения
По аналогии с интегралом Римана — Стилтьеса, интеграл Ито можно определить как предел по вероятности римановых сумм. Такой предел существует не для любой траектории.
Пусть <math>B</math> — винеровский процесс и пусть <math>H</math> — непрерывный слева, адаптированный и локально ограниченный случайный процесс. Если <math>\left\lbrace \pi_n \right\rbrace_{n \in \mathbb{N}}</math> — последовательность разбиений интервала <math>[0,t]</math>, сгущающихся при росте <math>n</math>, то интеграл Ито от <math>H</math> относительно <math>B</math> до времени <math>t</math> есть случайная величина, равная
- <math>\int\limits_{0}^{t} H \,d B =\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{t_{i-1},t_i\in\pi_n}H_{t_{i-1}}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}),</math>
где предел берётся по вероятности. Можно показать, что этот предел существует, то есть определение корректно.
В некоторых приложениях (например, в Шаблон:Нп3 и определении Шаблон:Нп3) необходимо вычислять интегралы от разрывных процессов. Множество Шаблон:Нп3 является наименьшим семейством процессов, замкнутых относительно операции взятия предела последовательности, и содержит все адаптированные процессы, непрерывные слева. Если <math>H</math> — предсказуемый процесс, такой, что для любого неотрицательного <math>t</math>
- <math> \int\limits_0^t H^2 \, ds < \infty, </math>
то можно определить интеграл от <math>H</math> относительно <math>B</math> и при этом <math>H</math> называется <math>B</math>-интегрируемым. Любой такой процесс можно приблизить последовательностью <math>H_n</math> адаптированных, непрерывных слева и локально ограниченных процессов в том смысле, что
- <math> \int\limits_0^t (H-H_n)^2\,ds\rightarrow 0</math>
по вероятности. Тогда интеграл Ито равен
- <math>\int\limits_0^t H\,dB = \lim_{n\rightarrow\infty}\int\limits_0^t H_n\,dB</math>
где предел берётся по вероятности. Можно показать, что этот предел существует, то есть определение корректно.
Определённый таким образом стохастический интеграл удовлетворяет Шаблон:Нп3, то есть выполняется равенство
- <math>\mathbb{E}\left[ \left(\int_0^t H_s \, dB_s\right)^2\right]=\mathbb{E} \left[ \int_0^t H_s^2\,ds\right ]</math>
для любого ограниченного процесса <math>H</math> или, в более общем случае, когда интеграл в правой части равенства конечен.
Процесс Ито
Процессом Ито называется адаптированный стохастический процесс, который можно представить в виде суммы интеграла относительно броуновского движения и интеграла относительно времени:
- <math>X_t=X_0+\int\limits_0^t\sigma_s\,dB_s+\int\limits_0^t\mu_s\,ds.</math>
Здесь <math>B</math> — броуновское движение, <math>\sigma</math> — предсказуемый <math>B</math>-интегрируемый процесс, а <math>\mu</math> — процесс предсказуемый и интегрируемый по Лебегу, то есть
- <math>\int\limits_0^t(\sigma_s^2+|\mu_s|)\,ds<\infty</math>
для любого <math>t</math>. Можно определить стохастический интеграл от процесса Ито:
- <math>\int\limits_0^t H\,dX =\int\limits_0^t H_s\sigma_s\,dB_s + \int\limits_0^t H_s\mu_s\,ds.</math>
Данное выражение определено для любых локально ограниченных и предсказуемых подынтегральных функций. В более общей формулировке требуется, чтобы <math>H\sigma</math> была <math>B</math>-интегрируема, а <math>H\mu</math> — интегрируема по Лебегу, то есть
- <math>\int_0^t (H^2 \sigma^2 + |H\mu| )ds < \infty.</math>
Предсказуемые процессы <math>H</math>, удовлетворяющие этому условию, называются <math>X</math>-интегрируемыми, множество всех таких процессов обозначается <math>L(X)</math>.
Важным результатом, связанным с изучением процессов Ито, является лемма Ито. Простейший вариант её формулировки следующий: для любой функции <math>f \in C^2(\mathbb{R})</math> и процесса Ито <math>X</math> процесс <math>f(X)</math> также является процессом Ито и выполняется равенство
- <math>df(X_t)=f^\prime(X_t)\,dX_t + \frac{1}{2}f^{\prime\prime}(X_t)\sigma_t^2\,dt.</math>
Данное выражение является стохастическим аналогом формулы замены переменной в интеграле и правила дифференцирования сложной функции. Оно отличается от классических формул наличием дополнительного слагаемого, включающего в себя вторую производную функции <math>f</math> и возникающего вследствие того, что квадратичная вариация броуновского движения не равна нулю.
Полумартингалы как интеграторы
Интеграл Ито определяется относительно полумартингала <math>X</math>, то есть процесса, представимого в виде <math>X=M+A</math>, где <math>M</math> — Шаблон:Нп3, <math>A</math> — процесс с конечной вариацией. Такими процессами являются, например, винеровский процесс (являющийся мартингалом), а также процессы с независимыми приращениями.
Для непрерывного слева, локального ограниченного и адаптированного процесса <math>H</math> существует интеграл <math>H \cdot X</math>, который может быть вычислен как предел римановых сумм. Пусть <math>\left\lbrace \pi_n \right\rbrace_{n \in \mathbb{N}}</math> — последовательность разбиений интервала <math>[0,t]</math>, сгущающихся при росте <math>n</math>. Тогда
- <math>\int\limits_0^t H\,dX = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{t_{i-1},t_i\in\pi_n}H_{t_{i-1}}(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}),</math>
где предел берётся по вероятности.
Определение стохастического интеграла для процессов, непрерывных слева, достаточно общо для применения в большинстве задач стохастического исчисления, например, в приложениях леммы Ито, при замене меры по Шаблон:Нп3 и при изучении стохастических дифференциальных уравнений. Тем не менее, такое определение оказывается неподходящим для других важных тем, таких как теорема о представлении мартингала и изучение локальных времён.
Понятие интеграла можно единственным образом обобщить для всех предсказуемых и локально ограниченных подынтегральных функций, так, что будут выполняться условия теоремы о мажорируемой сходимости. Если <math>H_n \to H</math> и <math>|H_n| \leqslant J</math> для некоторого локально ограниченного процесса <math>J</math>, то
- <math>\int_0^t H_n \,dX \to \int_0^t H \,dX</math>
по вероятности. Единственность обобщения является следствием Шаблон:Нп3.
В общем случае стохастический интеграл <math>H \cdot X</math> может быть определён даже если предсказуемый процесс <math>H</math> не является локально ограниченным. Процессы <math>K = 1/(1+|H|)</math> и <math>KH</math> являются ограниченными. Ассоциативность стохастического интегрирования влечёт за собой <math>X</math>-интегрируемость <math>H</math>, причём <math>H \cdot X = Y</math> тогда и только тогда, когда <math>Y_0=0</math> и <math>K \cdot Y = (KH) \cdot X</math>.
Свойства
Стохастический интеграл обладает следующими свойствамиШаблон:SfnШаблон:Sfn.
- Стохастический интеграл есть случайный процесс, являющийся элементом Шаблон:Нп3. Более того, стохастический интеграл есть полумартингал.
- Разрывы стохастического интеграла возникают при умножении имеющего скачки интегратора и подынтегральной функции. Скачок процесса, являющегося элементом пространства Скорохода, в момент времени <math>t</math> равен <math>X_t - X_{t-}</math> и часто обозначается <math>\Delta X_t</math>. Тогда
- <math>\Delta (H \cdot X) = H \Delta X.</math>
- Отсюда, в частности, следует, что интеграл относительно непрерывного процесса также непрерывен.
- Ассоциативность. Пусть <math>J</math> и <math>K</math> — предсказуемые процессы и <math>K</math> является <math>X</math>-интегрируемым. Тогда <math>J</math> является <math>(K \cdot X)</math>-интегрируемым тогда и только тогда, когда <math>JK</math> является <math>X</math>-интегрируемым и в таком случае
- <math> J\cdot (K\cdot X) = (JK)\cdot X</math>
- Мажорируемая сходимость. Пусть <math>H_n \to H</math> и пусть <math>|H_n| \leqslant J</math> для некоторого <math>X</math>-интегрируемого процесса <math>J</math>. Тогда <math>H_n \cdot X \to H \cdot X</math> по вероятности при любом <math>t</math>. На компактных множествах сходимость будет равномерной.
- Стохастический интеграл коммутирует с операцией вычисления квадратичной ковариации. Если <math>X</math> и <math>Y</math> — полумартингалы, то любой <math>X</math>-интегрируемый процесс будет также <math>[X,Y]</math>-интегрируемым и <math>[H \cdot X, Y] = H \cdot [X,Y]</math>. Отсюда следует, что процесс квадратичной вариации стохастического интеграла равен интегралу от процесса квадратичной вариации:
- <math>[H\cdot X]=H^2\cdot[X]</math>
Интегрирование по частям
Так же как и в классическом анализе, в стохастическом исчислении важным результатом является формула интегрирования по частям. Формула для интеграла Ито отличается от формулы для интеграла Римана — Стилтьеса дополнительного слагаемого, равного квадратичной ковариации. Оно появляется в связи с тем, что в исчислении Ито изучаются процессы с ненулевой квадратичной вариацией, каковыми являются только процессы с бесконечной вариацией, такие как, например, броуновское движение. Если <math>X</math> и <math>Y</math> — полумартингалы, то
- <math>X_tY_t = X_0Y_0+\int\limits_0^t X_{s-}\,dY_s + \int\limits_0^t Y_{s-}\,dX_s + [X,Y]_t,</math>
где <math>[X,Y]</math> — процесс квадратичной ковариации.
Лемма Ито
Лемма Ито является аналогом формулы дифференцирования сложной функции или формулы замены переменной в интеграле для стохастического интеграла Ито и одним из самых мощных и наиболее часто используемых результатов стохастического исчисления.
Пусть <math>X = (X^1,\ldots,X^n)</math> — <math>n</math>-мерный полумартингал и пусть <math>f</math> — дважды гладкая функция из <math>\mathbb{R}^n</math> в <math>\mathbb{R}</math>. Тогда <math>f(X)</math> тоже является полумартингалом и
- <math>df(X_t)= \sum_{i=1}^n f_{i}(X_t)\,dX^i_t + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n f_{i,j}(X_{t})\,d[X^i,X^j]_t.</math>
Эта формула отличается от классического правила цепочки наличием квадратичной ковариации <math>[X^i,X^j]</math>. Формулу можно обобщить на случай разрывных полумартингалов добавлением слагаемого, соответствующего скачкам и обеспечивающего непрерывность.
Мартингалы-интеграторы
Локальные мартингалы
Важным свойством интеграла Ито является сохранение свойства локальности мартингалов. Если <math>M</math> — локальный мартингал, а <math>H</math> локально ограниченный предсказуемый процесс, то интеграл <math>H \cdot M</math> тоже будет локальным мартингалом. Можно привести примеры, когда <math>H \cdot M</math> не является локальным для подынтегральных процессов, не являющихся локально ограниченными, однако, такое может произойти только если <math>M</math> разрывен. Если <math>M</math> — непрерывный локальный мартингал, то предсказуемый процесс <math>H</math> <math>M</math>-интегрируем тогда и только тогда, когда
- <math> \int\limits_o^t H^2 \, d[M] < \infty </math>
для любого <math>t</math> и <math>H \cdot M</math> всегда является локальным мартингалом.
Самое общее утверждение разрывного локального мартингала <math>M</math> формулируется следующим образом: если процесс <math>\sqrt{H^2 \cdot [M]}</math> локально интегрируем, то интеграл <math>H \cdot M</math> существует и является локальным мартингалом.
Мартингалы, интегрируемые с квадратом
Для ограниченных подынтегральных процессов стохастический интеграл Ито сохраняет пространство мартингалов, интегрируемых с квадратом, то есть мартингалов <math>M</math>, принадлежащих пространству Скорохода и удовлетворяющих свойству
- <math>\mathbb{E} \left( M_t^2 \right) < \infty </math>
для любых <math>t</math>. Для любого такого мартингала <math>M</math> процесс квадратичной вариации <math>[M]</math> интегрируем и выполняется изометрия Ито:
- <math>\mathbb{E}\left [(H\cdot M_t)^2\right ]=\mathbb{E}\left [\int_0^t H^2\,d[M]\right ].</math>
Данное равенство выполняется и в более общем случае — для любого мартингала <math>M</math>, такого, что процесс <math>H^2 \cdot [M]_t</math> интегрируем. Изометрия Ито часто используется в качестве важного этапа построения стохастического интеграла. Можно определить <math>H \cdot M</math> как единственное расширение изометрии Ито с определённого класс простых подынтегральных процессов на случай всех ограниченных и предсказуемых процессов.
<math>p</math>-интегрируемые мартингалы
Для любого <math>p>1</math> и любого ограниченного предсказуемого подынтегрального процесса стохастический интеграл сохраняет пространство <math>p</math>-интегрируемых мартингалов, то есть мартингалов <math>M</math>, принадлежащих пространству Скорохода, для которых
- <math>\mathbb{E} \left( |M_t|^p \right) < \infty</math>
для любых <math>t</math>. Для случая <math>p=1</math> это не всегда так: можно привести примеры интегралов от ограниченных предсказуемых процессов относительно мартингалов, не являющихся мартингалами.
Максимум процесса <math>M</math> из пространства Скорохода обозначается как <math>M_t^* = \sup_{s \leqslant t} |M_s|</math>. Для любого <math>p \geqslant 1</math> и любого ограниченного предсказуемого подынтегрального процесса стохастический интеграл сохраняет пространство мартингалов <math>M</math> из пространства Скорохода, таких, что
- <math> \mathbb{E} \left( \left( M_t^* \right)^p \right) < \infty </math>
для любых <math>t</math>. Из неравенства Дуба следует, что при <math>p>1</math> данное пространство совпадает с пространством <math>p</math>-интегрируемых мартингалов.
Согласно неравенствам Буркхольдера — Дэвиса — Ганди, для любого <math>p \geqslant 1</math> существуют положительные константы <math>c</math> и <math>C</math>, зависящие только от <math>p</math>, такие, что для любого мартингала <math>M</math>, локально принадлежащего пространству Скорохода, выполняется
- <math>c\mathbb{E} \left [ [M]_t^{\frac{p}{2}} \right ] \le \mathbb{E}\left [(M^*_t)^p \right ]\le C\mathbb{E}\left [ [M]_t^{\frac{p}{2}} \right ].</math>
С помощью этих соотношений можно показать, что если <math>\left( M_t^* \right)^p</math> интегрируем и если <math>H</math> — ограниченный предсказуемый процесс, то
- <math>\mathbb{E}\left [ ((H\cdot M)_t^*)^p \right ] \le C\mathbb{E}\left [(H^2\cdot[M]_t)^{\frac{p}{2}} \right ]<\infty</math>
и, как следствие, <math>H \cdot M</math> — <math>p</math>-интегрируемый мартингал. Данное утверждение остаётся верным и в более общем случае, когда процесс <math>\left( H^2 \cdot [M] \right)^{p/2}</math> интегрируем.
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
