Русская Википедия:Стоячая волна
Стоя́чая волна́ — явление интерференции волн, распространяющихся в противоположных направлениях, при котором перенос энергии ослаблен или отсутствует[1].
Стоя́чая волна́ (электромагнитная) — периодическое изменение амплитуды напряженности электрического и магнитного полей вдоль направления распространения, вызванное интерференцией падающей и отражённой волн[2].
Стоячая волна — колебательный (волновой) процесс в распределённых колебательных системах с характерным устойчивым в пространстве расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Такой колебательный процесс возникает при интерференции нескольких когерентных волн.
Например, стоячая волна возникает при отражении волны от преград и неоднородностей в результате взаимодействия (интерференции) падающей и отражённой волн. На результат интерференции влияют частота колебаний, модуль и фаза коэффициента отражения, направления распространения падающей и отражённой волн друг относительно друга, изменение или сохранение поляризации волн при отражении, коэффициент затухания волн в среде распространения. Строго говоря, стоячая волна может существовать только при отсутствии потерь в среде распространения (или в активной среде) и полном отражении падающей волны. В реальной же среде наблюдается режим смешанных волн, поскольку всегда присутствует перенос энергии к местам поглощения и излучения. Если при падении волны происходит её полное поглощение, то отражённая волна отсутствует, интерференции волн нет, амплитуда волнового процесса в пространстве постоянна. Такой волновой процесс называют бегущей волной.
Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе[3]; в природе — волны Шумана. Для демонстрации стоячих волн в газе используют трубу Рубенса.
-
Двумерная стоячая волна на упругом диске. Основная мода
-
Более высокая мода стоячей волны на упругом диске
В случае гармонических колебаний в одномерной среде стоячая волна описывается формулой:
- <math>u = u_0 \cos kx \cos(\omega t - \varphi),</math>
- где <math>u</math> — возмущения в точке <math>x</math> в момент времени <math>t,</math>
- <math>u_0</math> — амплитуда стоячей волны,
- <math>\omega</math> — частота,
- <math>k</math> — волновой вектор,
- <math>\varphi</math> — фаза.
Стоячие волны являются решениями волновых уравнений. Их можно представить себе как суперпозицию волн, распространяющихся в противоположных направлениях.
При существовании в среде стоячей волны, существуют точки, амплитуда колебаний в которых равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями.
Моды
Стоячие волны возникают в резонаторах. Конечные размеры резонатора накладывают дополнительные условия на существование таких волн. В частности, для систем конечных размеров волновой вектор (а, следовательно, длина волны) может принимать лишь определённые дискретные значения. Колебания с определёнными значениями волнового вектора называются модами.
Например, различные моды колебаний зажатой на концах струны определяют её основной тон и обертоны.
Математическое описание стоячих волн
В одномерном случае две волны одинаковой частоты, длины волны и амплитуды, распространяющиеся в противоположных направлениях (например, навстречу друг другу), будут взаимодействовать, в результате чего может возникнуть стоячая волна. Например, гармоничная волна, распространяясь вправо, достигая конца струны, производит стоячую волну. Волна, что отражается от конца, должна иметь такую же амплитуду и частоту, как и падающая волна.
Рассмотрим падающую и отражённую волны в виде:
- <math>y_1\; =\; y_0\, \sin(kx - \omega t),</math>
- <math>y_2\; =\; y_0\, \sin(kx + \omega t),</math>
- где <math>y_0</math> — амплитуда волны,
- <math>\omega</math> — циклическая (угловая) частота, измеряемая в радианах в секунду,
- <math>k</math> — волновой вектор, измеряется в радианах на метр, и рассчитывается как <math>2\pi/\lambda,</math>
- <math>x</math> и <math>t</math> — переменные для обозначения длины и времени.
Поэтому результирующее уравнение для стоячей волны <math>y</math> будет в виде суммы <math>y_1</math> и <math>y_2:</math>
- <math>y\; =\; y_0\, \sin(kx - \omega t)\; +\; y_0\, \sin(kx + \omega t).</math>
Используя тригонометрические соотношения, это уравнение можно переписать в виде:
- <math>y\; =\; 2\, y_0\, \cos(\omega t)\; \sin(kx).</math>
Если рассматривать моды <math>x = 0, \lambda /2, \lambda, 3\lambda /2,... </math> и антимоды <math>x = \lambda /4, 3\lambda /4, 5\lambda /4,...</math>, то расстояние между соседними модами / антимодами будет равно половине длины волны <math>\lambda /2</math>.
Волновое уравнение
Для того, чтобы получить стоячие волны как результат решения однородного дифференциального волнового уравнения (Даламбера):
- <math>\left (\nabla^2 - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right )u = 0,</math>
необходимо соответствующим образом задать его граничные условия (например, закрепить концы струны).
В общем случае неоднородного дифференциального уравнения
- <math> \left (\nabla^2 - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2} \right) u = f_0 u,</math>
- где <math>f_0</math> — выполняет роль «силы», с помощью которой осуществляется смещение в определённой точке струны, стоячая волна возникает автоматически.
См. также
Примечания
Ссылки
- Джо Вулфи «Струны, стоячие волны и гармоники»
- ↑ IEEE Electrical Engineering Dictionary / P.A.Laplante, ed. CRC Press LLC, 2000.
- ↑ ГОСТ 18238-72. Линии передачи сверхвысоких частот. Термины и определения.
- ↑ Шаблон:Cite web
