Русская Википедия:Строго нормированное пространство
В математике строго нормированные пространства — это важный подкласс нормированных пространств, по своей структуре близких к гильбертовым. Для таких пространств решён вопрос единственности аппроксимаций, и это свойство находит широкое применение в вопросах вычислительной математики и математической физике. Кроме того, в строго нормированном пространстве отрезок соединяющий две точки произвольной сферы, будет целиком лежать строго внутри (за исключением граничных точек) открытого шара, ограниченного данной сферой.
Нормированное пространство X называют строго нормированным (или строго выпуклым), если для произвольных <math>x,y\in X</math>, удовлетворяющих условию <math>\|x+y\|=\|x\|+\|y\|</math>, найдётся такое <math>\lambda\in \mathbb R</math>, что <math>y=\lambda x</math>.
Свойства строго нормированных пространств
- Пусть X — строго нормированное пространство, а L — линейное подпространство. Тогда для <math>\forall x\in X</math> найдется не более одного элемента <math>u\in L</math> такого, что <math>\rho(x,L)=\|x-u\|</math>.
Элемент <math>u</math> называют элементом наилучшего приближения x элементами из L. Существование элемента наилучшего приближения обеспечивает следующая теорема.
Теорема. Пусть X — нормированное пространство, а L — конечномерное линейное подпространство. Тогда для <math>\forall x\in E</math> существует элемент наилучшего приближения <math>u\in L</math>.
При этом в нормированном, но не строго нормированном пространстве, элемент наилучшего приближения, вообще говоря, не единственен.
- Каждый шар строго нормированного пространства — строго выпуклое множество. Верно и обратное, если в нормированном пространстве каждый шар — строго выпуклое множество, то данное пространство является строго нормированным.
- Нормированное пространство X является строго нормированным тогда и только тогда, когда из условия <math>\forall x,y\in X: \|x\|=1,\|y\|=1, x\neq y</math> всегда следует что <math>\|x+y\|<2</math>.
Примеры строго нормированных пространств
- <math>\mathbb R^2</math> с нормой <math>\|\mathbf x\|_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2}</math>. Однако нормы <math>\|\mathbf x\|_1=|x_1|+|x_2|</math> и <math>\| \mathbf x\|_{\infty}=\max\{|x_1|,|x_2|\}</math> на <math>\mathbb R^2</math>, эквивалентные норме <math>\|\cdot\|_2</math> не порождают строго нормированное пространство (см. рисунок).
- <math>L_p</math>, где <math>1<p<\infty</math>. Этот факт следует из неравенства Юнга, которое используется при выводе неравенств Гёльдера и Минковского.
- Гильбертовы пространства
Литература
