Русская Википедия:Структура Ходжа
Структура Ходжа веса <math>n</math>, или чистая структура Ходжа — объект, состоящий из решётки <math>H_\Z</math> в действительном векторном пространстве <math>H_\R=H_\Z\otimes\R</math> и разложения <math>H_\Complex=\bigoplus_n H^{p,\;q}</math>, где <math>n=p+q</math>, комплексного векторного пространства <math>H_\Complex=H_\Z\otimes\Complex</math>, которое называется разложением Ходжа. При этом должно выполняться условие <math>\bar H^{p,\;q}=H^{q,\;p}</math>, где <math>\bar H^{p,\;q}</math> — комплексное сопряжённое в <math>H_\Complex=H_\R\bigotimes_\R\Complex</math>.
Иначе, разложение Ходжа можно описать, используя понятие убывающей фильтрации, или фильтрации Ходжа, <math>F^r=\bigoplus_{p\geqslant r}H^{p,\;q}</math> в <math>H_\Complex</math> такой, что <math>\bar F^s\cap F^r=0</math> при <math>r+s\neq n</math>. Тогда подпространства <math>H^{p,\;q}</math> восстанавливаются по формуле <math>H^{p,\;q}=\bar F^p\cap F^q</math>.
Данную структуру в пространстве <math>n</math>-мерных когомологий <math>H^n(X,\;\Complex)</math> компактного кэлерова многообразия <math>X</math> впервые изучил У. Ходж[1].
В этом случае подпространства <math>H^{p,\;q}</math> описываются как пространства гармонических форм типа <math>(p,\;q)</math> или как когомологии <math>H^q(X,\;\Omega^p)</math> пучков <math>\Omega^p</math> голоморфных дифференциальных форм[2].
Фильтрация Ходжа в <math>H^n(X,\;\Complex)</math> возникает из фильтрации комплекса пучков <math>\Omega=\sum_{p\geqslant 0}\Omega^p</math>, <math>n</math>-мерные гиперкогомологии которого изоморфны <math>H^n(X,\;\Complex)</math>, подкомплексами вида <math>\sum_{r\geqslant p}\Omega^r</math>.
Смешанная структура Ходжа
Более общим понятием является смешанная структура Ходжа — это объект, состоящий из решётки <math>H_\Z</math> в <math>H_\R=H_\Z\otimes\R</math>, возрастающей фильтрации, или фильтрации весов, <math>W_n</math> в <math>H_\Q=H_\Z\otimes\Q</math> и убывающей фильтрации (фильтрации Ходжа) <math>F^p</math> в <math>H_\Complex=H_\Z\otimes\Complex</math> таких, что на пространстве <math>(W_n/W_{n+1})\otimes\Complex</math> фильтрации <math>F^p</math> и <math>\bar F^p</math> определяют чистую структуру Ходжа веса <math>n</math>.
П. Делинь (P. Deligne) в своей работе[3] рассмотрел смешанные структуры Ходжа в когомологиях комплексного алгебраического многообразия (не обязательно компактного или гладкого) как аналог структуры модуля Галуа в этальных когомологиях.
Структуры Ходжа имеют важные приложения в алгебраической геометрии в теории отображений периодов и в теории особенностей гладких отображений[4].
Примечания
- ↑ Hodge W. V. D. Tho theorie and applications of harmonic integrals. — 2 ed. — Cambridge, 1952.
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Deligne P. Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, 1974). — 1975. — v. 1. — p. 70—85.
- ↑ Варченко А. Н. Современные проблемы математики. — т. 22. — М., 1983. — с. 66—130. — (Итоги науки и техники).
