Русская Википедия:Структура (дифференциальная геометрия)

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Значения В дифференциальной геометрии структурой на многообразии, геометрической величиной или полем геометрических объектов называется сечение расслоения, ассоциированного с главным расслоением кореперов некоторого многообразия <math>M</math>. Интуитивно геометрическую величину можно рассматривать как величину, значение которой зависит не только от точки <math>x</math> многообразия <math>M</math>, но и от выбора корепера, то есть от выбора инфинитезимальной системы координат в точке <math>x</math> (см. также Карта).

Формальное определение структуры на многообразии

Для формального определения структур на многообразии рассмотрим <math>GL^k(n)</math> — общую дифференциальную группу порядка <math>k</math> (группу <math>k</math>-струй в нуле преобразований пространства <math>\R^n</math>, сохраняющих начало координат), <math>M_k</math> — многообразие кореперов порядка <math>k</math> <math>n</math>-мерного многообразия <math>M</math> (то есть многообразие <math>k</math>-струй <math>j^k_x(u)</math> локальных карт <math>u:M\supset U\to\R^n</math> с началом в точке <math>x=u^{-1}(0)</math>).

Группа <math>GL^k(n)</math> действует слева на многообразии <math>M_k</math> по формуле

<math>j^k_0(\varphi)j^k_0(u)=j^k_x(\varphi\circ u),\quad j^k_0(\varphi)\in GL^k(n),\quad j^k_x(u)\in M_k.</math>

Это действие определяет в <math>M_k</math> структуру главного <math>GL^k(n)</math>-расслоения <math>\pi_k:M_k\to M</math>, называемого расслоением кореперов порядка <math>k</math>.

Пусть теперь <math>W</math> — произвольное <math>GL^k(n)</math>-многообразие, то есть многообразие с левым действием группы <math>GL^k(n)</math>, a <math>W(M)</math> — пространство орбит левого действия группы <math>GL^k(n)</math> в <math>M_k\times W</math>. Расслоение <math>\pi_W:W(M)\to M</math>, являющееся естественной проекцией пространства орбит на <math>M</math> и ассоциированное как с <math>W</math>, так и с <math>M_k</math>, называется расслоением геометрических структур типа <math>W</math> порядка не больше <math>k</math>, а его сечения — структурами типа <math>W</math>. Структуры такого типа находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с <math>GL^k(n)</math>-зквивариантными отображениями <math>S:M_k\to W</math>.

Таким образом, структуры типа <math>W</math> можно рассматривать как <math>W</math>-значную функцию <math>S</math> на многообразии <math>M_k</math> <math>k</math>-реперов, удовлетворяющую следующему условию эквивариантности:

<math>S(gu^k)=gS(u^k),\quad g\in GL^k(n),\quad u^k\in M_k.</math>

Расслоение геометрических объектов является естественным расслоением в том смысле, что группа диффеоморфизмов многообразия <math>M</math> действует как группа автоморфизмов <math>\pi_W</math>.

Если <math>W</math> есть векторное пространство с линейным (соответственно аффинным) действием группы <math>GL^k(n)</math>, то структуры типа <math>W</math> называются линейными (соответственно аффинными).

Основными примерами линейных структур первого порядка являются тензорные структуры, или тензорные поля. Пусть <math>V=\R^n</math>, <math>V^*=\mathrm{Hom}\,(V,\;\R)</math> и <math>V^p_g=((\otimes^p V))\otimes((\otimes^q V^*))</math> — пространство тензоров типа <math>(p,\;q)</math> с естественным тензорным представлением группы <math>GL^1(n)=GL(n)</math>. Структура типа <math>V^p_q</math> называется тензорным полем типа <math>(p,\;q)</math>. Её можно рассматривать как вектор-функцию на многообразии кореперов <math>M_1</math>, сопоставляющую кореперу <math>\theta=j^1_1(u)=(du^1,\;du^2,\;\ldots,\;du^n)</math> набор координат <math>S(\theta)^{i_1 i_2 \ldots i_p}_{j_1 j_2 \ldots j_q}</math> тензора <math>S(\theta)\in V^p_q</math> относительно стандартного базиса

<math>\{e_{i_1}\otimes e_{i_2}\otimes\ldots\otimes e_{i_p}\otimes e^{*j_1}\otimes e^{*j_2}\otimes\ldots\otimes e^{*j_q}\}</math>

пространства <math>V^p_q</math>. При линейном преобразовании коронера <math>\theta\to g\theta=(g^i_a\,du^a)</math> координаты <math>S^{i_1 i_2 \ldots i_p}_{j_1 j_2 \ldots j_p}</math> преобразуются по тензорному представлению:

<math>S^{i_1 i_2 \ldots i_p}_{j_1 j_2 \ldots j_q}(q\theta)=g^{i_1}_{a_1}g^{i_2}_{a_2}\ldots g^{i_p}_{a_p}(g^{-1})^{b_1}_{j_1}(g^{-1})^{b_2}_{j_2}\ldots (g^{-1})^{b_q}_{j_q}S(\theta)^{a_1 a_2 \ldots a_p}_{b_1 b_2 \ldots b_q}.</math>

Важнейшими примерами тензорных структур являются:

Все линейные структуры (любых порядков) исчерпываются сверхтензорами Рашевского[1].

Примером аффинной структуры второго порядка служит аффинная связность без кручения, которую можно рассматривать как структуру типа <math>V^1_{(2)}</math>, где <math>V^1_{(2)}\approx V\otimes S^2V^*</math> — ядро естественного гомоморфизма <math>GL^2(n)\to GL^1(n)</math>, которое можно рассматривать как векторное пространство с естественным действием группы <math>GL^2(n)=GL(n)V^1_{(2)}</math>.

Другим важным и добольно широким классом структур является класс инфинитезимально однородных структур, или <math>G</math>-структур. Их можно определить как структуры типа <math>W</math>, где <math>W=GL^k(n)/G</math> — однородное пространство группы <math>GL^k(n)</math>.

Для дальнейшего обобщения можно рассмотреть общие <math>G</math>-структуры — главные расслоения, гомоморфно отображающиеся на <math>G</math>-структуру, и сечения ассоциированных с ними расслоений. В этом случае можно рассматривать ряд важных общих геометрических структур, такие как спинорные структуры, симплектические спинорные структуры и др.

Литература

  1. Шаблон:Книга
  2. Шаблон:Книга
  3. Шаблон:Книга
  4. Шаблон:Книга
  5. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Труды геометрического семининара. — т. 1. — Шаблон:М.: ВИНИТИ, 1966, с. 139—189.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Рашевский П. К. Труды Московского математического общества. — 1957. — т. 6. — с. 337—370.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Структура_(дифференциальная_геометрия)&oldid=10878396