Русская Википедия:Структурные константы

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Vecteurs produit vectoriel.png
Используя векторное произведение в качестве скобки Ли, алгебра 3-мерных вещественных векторов является алгеброй Ли, изоморфной алгебрам Ли SU(2) и SO(3). Структурные константы: <math> f^{abc} = \epsilon^{abc}</math>, где <math>\epsilon^{abc}</math> — антисимметричный символ Леви-Чивиты.

В математике структурные константы или структурные коэффициенты алгебры над полем используются для явного указания произведения двух базисных векторов в алгебре в качестве линейной комбинации. Учитывая структурные константы, результирующее произведение является билинейным и может быть однозначно расширено на все векторы в векторном пространстве, таким образом, однозначно определяя произведение для алгебры.

Структурные константы используются всякий раз, когда необходимо указать явную форму алгебры. Таким образом, они часто используются при обсуждении алгебры Ли в физике, поскольку базисные векторы указывают конкретные направления в физическом пространстве или соответствуют конкретным частицам. Напомним, что алгебры Ли — это алгебры над полем, причём билинейное произведение задаётся скобкой Ли или коммутатором.

Определение

Учитывая набор базисный векторов <math>\{\mathbf{e}_i\}</math> векторного пространства алгебры, структурные константы или структурные коэффициенты <math>c_{ij}^{\;k}</math> выражают умножение <math>\cdot</math> пар векторов в качестве линейной комбинации:

<math>\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \sum_{k} c_{ij}^{\;\;k} \mathbf{e}_k</math>.

Верхний и нижний индексы часто не различаются, если алгебра не наделена какой-либо другой структурой, которая потребовала бы этого (например, псевдориманова метрика на алгебре неопределённой ортогональной группы so(p,q)). То есть структурные константы часто записываются с верхними или нижними индексами. Различие между верхним и нижним является условием, напоминающим читателю, что нижние индексы ведут себя как компоненты двойственного вектора, то есть ковариантно при изменении базиса, а верхние индексы — контравариантно.

Очевидно, что структурные константы зависят от выбранного базиса. Для алгебр Ли одно часто используемое соглашение о базисе выражается в терминах лестничных операторов, определённых подалгеброй Картана; это представлено ниже в статье после некоторых предварительных примеров.

Пример: алгебры Ли

Для алгебры Ли базисные векторы называются Шаблон:Нп5 алгебры, а произведение задаётся скобкой Ли. То есть, произведение алгебры <math>\cdot</math> "определено" как скобка Ли: для двух векторов <math>A</math> и <math>B</math> в алгебре, результатом будет <math>A\cdot B\equiv [A, B].</math> В частности, произведение алгебры <math>\cdot</math> нельзя путать с матричным произведением, поэтому иногда требуются альтернативные обозначения.

В этом случае нет особой необходимости различать верхний и нижний индексы; они могут быть записаны все вверху или все внизу. В физике обычно используются обозначения <math>T_i</math> для генераторов, а <math>f_{ab}^{\;\;c}</math> или <math>f^{abc}</math> (игнорируя различие между верхним и нижним) для структурных констант. Скобка Ли пар генераторов представляет собой линейную комбинацию генераторов из множества, т.е.

<math>[T_a, T_b] = \sum_{c} f_{ab}^{\;\;c} T_c</math>.

Путём линейного расширения структурные константы полностью определяют скобки Ли всех элементов алгебры Ли.

Все алгебры Ли удовлетворяют тождеству Якоби. Для базисных векторов это можно записать как

<math>[T_a, [T_b,T_c]] + [T_b, [T_c, T_a]] + [T_c, [T_a, T_b]] = 0</math>

и это непосредственно приводит к соответствующему тождеству в терминах структурных констант:

<math>f_{ad}^{\;\;e}f_{bc}^{\;\;d} + f_{bd}^{\;\;e}f_{ca}^{\;\;d} + f_{cd}^{\;\;e}f_{ab}^{\;\;d} = 0.</math>

Выше и оставшаяся часть этой статьи используют соглашение Эйнштейна о суммировании для повторяющихся индексов.

Структурные константы играют роль в представлениях алгебры Ли и фактически дают в точности матричные элементы присоединённого представления. Форма Киллинга и инвариант Казимира также имеют особенно простую форму, когда записываются в терминах структурных констант.

Структурные константы часто появляются в приближении к формуле Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа для произведения двух элементов группы Ли. Для малых элементов <math> X, Y </math> алгебры Ли структура группы Ли около единичного элемента задается формулой

<math>\exp(X)\exp(Y) \approx \exp(X + Y + \tfrac{1}{2}[X,Y]).</math>

Обратите внимание на коэффициент 1/2. Они также появляются в явных выражениях для дифференциалов, таких как <math>e^{- X}de^X</math>.

Примеры алгебры Ли

𝖘𝖚(2) и 𝖘𝖔(3)

Алгебра 𝖘𝖚(2) специальной унитарной группы SU(2) трёхмерна, с генераторами, заданными матрицами Паули <math>\sigma_i</math>. Генераторы группы SU(2) удовлетворяют коммутационным соотношениям (где <math>\epsilon^{abc}</math> — символ Леви-Чивиты):

<math>[\sigma_a, \sigma_b] = 2 i \epsilon^{abc} \sigma_c</math>

где

<math>\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}</math> <math>\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}</math>

В этом случае структурные константы равны <math>f^{abc} = 2 i \epsilon^{abc}</math>. Обратите внимание, что константа 2i может быть включена в определение базисных векторов; таким образом, определяя <math>t_a = -i\sigma_a/2</math>, можно одинаково хорошо написать

<math>[t_a, t_b] = \epsilon^{abc} t_c</math>

Это подчёркивает, что алгебра Ли 𝖘𝖚(2) группы Ли SU(2) изоморфна алгебре Ли 𝖘𝖔(3) группы SO(3). Это приводит структурные константы в соответствие с константами группа вращения SO(3). То есть коммутатор для Шаблон:Нп5 обычно записывается как

<math>[L_i, L_j] = \epsilon^{ijk} L_k</math>

где

<math>L_x = L_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>L_y = L_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>L_z = L_3 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

написаны так, чтобы подчиняться правилу правой руки для вращений в трёхмерном пространстве.

Разница в множителе «2i» между этими двумя наборами структурных констант может приводить в бешенство, поскольку включает в себя некоторую тонкость. Таким образом, например, двумерному комплексному векторному пространству можно придать реальную структуру. Это приводит к двум неэквивалентным двумерным фундаментальному представлению группы (2), которые изоморфны, но являются комплексно сопряжённым представлением; оба, однако, считаются действительными представлениями именно потому, что они действуют в пространстве с реальной структурой[1]. В случае трёх измерений существует только одно трёхмерное представление, присоединённое представление, которое является действительным представлением; точнее, это то же самое, что и его двойное представление, показанное выше. Другими словами, транспонировать является минусом самого себя: <math> L_k ^ T = -L_k. </math>

В любом случае группы Ли считаются действительными именно потому, что можно записать структурные константы так, чтобы они были чисто действительными.

𝖘𝖚(3)

Менее тривиальный пример даётся в SU(3)[2].

Его генераторы "T" в определяющем представлении таковы:

<math>T^a = \frac{\lambda^a }{2}.\,</math>

где <math>\lambda \,</math> матрицы Гелл-Манна являются SU(3) аналогом матриц Паули для SU(2):

<math>\lambda^1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>\lambda^2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>\lambda^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
<math>\lambda^4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>\lambda^5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>\lambda^6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math>
<math>\lambda^7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}</math> <math>\lambda^8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.</math>

Они подчиняются отношениям

<math>\left[T^a, T^b \right] = i f^{abc} T^c \,</math>
<math> \{T^a, T^b\} = \frac{1}{3}\delta^{ab} + d^{abc} T^c. \,</math>

Структурные константы полностью антисимметричны. Их дают:

<math>f^{123} = 1 \,</math>
<math>f^{147} = -f^{156} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = -f^{367} = \frac{1}{2} \,</math>
<math>f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \,</math>

и все другие <math>f^{abc}</math>, не связанные с ними перестановкой индексов, равны нулю.

d принимают значения:

<math>d^{118} = d^{228} = d^{338} = -d^{888} = \frac{1}{\sqrt{3}} \,</math>
<math>d^{448} = d^{558} = d^{668} = d^{778} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \,</math>
<math>d^{146} = d^{157} = -d^{247} = d^{256} = d^{344} = d^{355} = -d^{366} = -d^{377} = \frac{1}{2}. \,</math>

Примеры из других алгебр

Полиномы Холла

Полиномы Холла - это структурные константы Шаблон:Нп5.

Алгебры Хопфа

В дополнение к произведению копроизведение и антипод алгебры Хопфа могут быть выражены в терминах структурных констант. Соединяющая аксиома, которая определяет условие согласованности алгебры Хопфа, может быть выражена как связь между этими различными структурными константами.

Приложения

<math>G^a_{\mu \nu} = \partial_\mu \mathcal{A}^a_\nu - \partial_\nu \mathcal{A}^a_\mu + g f^{abc} \mathcal{A}^b_\mu \mathcal{A}^c_\nu \,,</math>
где fabc — структурные константы SU(3). Обратите внимание, что правила отжимания или опускания индексов a, b или c являются тривиальными, (+, ... +), так что fabc = fabc = fШаблон:Su, тогда как для индексов μ или ν существуют нетривиальные релятивистские правила, соответствующие, например, метрической подписи (+ - - -).

Выбор базиса для алгебры Ли

Один из традиционных подходов к обеспечению основы алгебры Ли заключается в использовании так называемых «лестничных операторов», которые появляются как собственные векторы подалгебры Картана. Здесь кратко описывается построение этого базиса с использованием общепринятых обозначений. Альтернативная конструкция (конструкция Серра) может быть найдена в статье "Полупростая алгебра Ли".

Для алгебры Ли <math>\mathfrak{g}</math> подалгебра Картана <math>\mathfrak{h}\subset\mathfrak{g}</math> является максимальной абелевой подалгеброй. По определению, он состоит из тех элементов, которые коммутируют друг с другом. Шаблон:Нп5 базис можно свободно выбирать на <math>\mathfrak{h}</math>; запишите эту основу как <math>H_1,\cdots, H_r</math> с

<math>\langle H_i,H_j\rangle=\delta_{ij}</math>

где <math>\langle \cdot,\cdot\rangle</math> — это внутреннее произведение в векторном пространстве. Размерность <math>r</math> этой подалгебры называется рангом алгебры. Матрицы <math>\mathrm{ad}(H_i)</math> в присоединённом представлении взаимно коммутируют и могут быть одновременно диагонализованы. Матрицы <math>\mathrm{ad}(H_i)</math> имеют (одновременные) собственные векторы; которые с ненулевым собственным значением <math>\alpha</math> обычно обозначаются <math>E_\alpha</math>. Вместе с <math>H_i</math> они охватывают всё векторное пространство <math>\mathfrak{g}</math>. Тогда коммутационные соотношения имеют вид:

<math>[H_i,H_j]=0 \quad \mbox{и} \quad [H_i, E_\alpha]=\alpha_i E_\alpha</math>

Собственные векторы <math> E_ \ alpha </math> определяются только до общего масштаба; обычную нормализацию можно установить

<math>\langle E_\alpha,E_{-\alpha}\rangle=1</math>

Это позволяет записать оставшиеся коммутационные соотношения в виде

<math>[E_\alpha,E_{-\alpha}]=\alpha_i H_i</math>

и

<math>[E_\alpha,E_\beta]=N_{\alpha,\beta}E_{\alpha+\beta}</math>

с этим последним при условии, что корни (определённые ниже) <math>\alpha,\beta</math> с ненулевым значением: <math>\alpha+\beta\ne 0</math>. <math>E_\alpha</math> иногда называют операторами лестницы, поскольку они обладают этим свойством повышения/понижения значения <math>\beta</math>.

Для данного <math>\alpha</math> существует столько <math>\alpha_i</math>, сколько имеется <math>H_i</math>, поэтому можно определить вектор <math>\alpha=\alpha_iH_i</math>, этот вектор называется корень алгебры. Корни алгебр Ли появляются в регулярных структурах (например, в простая алгебра Ли корни могут иметь только две разные длины); подробности см. в корневой системе.

Структурные константы <math>N_{\alpha,\beta}</math> имеют свойство отличаться от нуля только тогда, когда <math>\alpha+\beta</math> является корнем. Кроме того, они антисимметричны:

<math>N_{\alpha,\beta}=-N_{\beta,\alpha}</math>

и всегда можно выбрать так, чтобы

<math>N_{\alpha,\beta}=-N_{-\alpha,-\beta}</math>

Они также подчиняются условиям коцикла[5]:

<math>N_{\alpha,\beta}=N_{\beta,\gamma}=N_{\gamma,\alpha}</math>

всякий раз, когда <math>\alpha+\beta+\gamma=0</math>, а также что

<math>N_{\alpha,\beta}N_{\gamma,\delta} +
      N_{\beta,\gamma}N_{\alpha,\delta} +
      N_{\gamma,\alpha}N_{\beta,\delta} = 0

</math> всякий раз, когда <math>\alpha+\beta+\gamma+\delta=0</math>.

Примечания

Шаблон:Примечания

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
  2. ↑ Шаблон:Cite book
  3. ↑ Шаблон:Cite book
  4. ↑ Шаблон:Cite journal
  5. ↑ Шаблон:Cite book
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Структурные_константы&oldid=10878474