Русская Википедия:Стягиваемое пространство

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Стягиваемое пространство — топологическое пространство, гомотопически эквивалентное точке. Это условие равносильно тому, что тождественное отображение на <math>X</math> гомотопно постоянному.

Локально стягиваемое пространство — топологическое пространство, каждая точка которого обладает стягиваемой окрестностью.

Свойства

Пространство <math>X</math> стягиваемо тогда и только тогда, когда существует <math>x_0 \in X</math> такое, что <math>\{x_0\}</math> — деформационный ретракт пространства <math>X</math>.

Стягиваемые пространства всегда односвязны; обратное утверждение, в общем случае, не имеет места, стягиваемость — более сильное ограничение, чем односвязность.

Всякое непрерывное отображение стягиваемых пространств является гомотопической эквивалентностью. Два любых непрерывных отображения произвольного пространства в стягиваемое гомотопны; притом если два любых непрерывных отображения в <math>X</math> гомотопны, то <math>X</math> — стягиваемое пространство.

Конус <math>\mathrm{C}X</math> для данного пространства <math>X</math> — стягиваемое пространство, таким образом, любое пространство <math>X</math> может быть вложено в стягиваемое, что, в свою очередь, свидетельствует о том, что не всякое подпространство стягиваемого пространства стягиваемо. Кроме того, <math>X</math> стягиваемо тогда и только тогда, когда существует ретракция <math>\mathrm{C}X \to X</math>.

Примеры и контрпримеры

Стягиваемы <math>n</math>-мерное вещественное пространство <math>\R^n</math>, любое выпуклое подмножество евклидова пространства, в частности — <math>n</math>-мерный шар.

Сфера в бесконечномерном гильбертовом пространстве стягиваема, но при этом <math>n</math>-мерные евклидовы сферы нестягиваемы. Всякое непрерывное отображение <math>n</math>-мерной сферы в стягиваемое пространство можно непрерывно продолжить на <math>n+1</math>-мерный шар.

Другие примечательные стягиваемые пространства — многообразие Уайтхеда (трёхмерное многообразие, не гомеоморфное <math>\R^3</math>), Шаблон:Iw (четырёхмерное гладкое многообразие с краем, не диффеоморфное четырёхмерному шару), дом Бинга, шутовской колпак.

Все многообразия и CW-комплексы локально стягиваемы, но не стягиваемы в общем случае.

Литература

• Шаблон:Книга