Русская Википедия:Субгармоническая функция

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи и класс гармонических функций.

Определение

Непрерывная функция <math>U(M)</math>, заданная в точках <math>M(x_1,\;\ldots,\;x_k)</math> произвольной <math>k</math>-мерной области <math>G</math> пространства <math>E_k</math>, называется субгармонической, если, каким бы ни был шар <math>Q</math> с центром в точке <math>M_0</math>, принадлежащий вместе со своей границей области <math>G</math>, справедливо неравенство <math>U(M_0)\leqslant\frac{1}{\sigma(\gamma(Q))}\int\limits_{\gamma(Q)}U(M)\,d\sigma</math>, и супергармонической, если <math>U(M_0)\geqslant\frac{1}{\sigma(\gamma(Q))}\int\limits_{\gamma(Q)}U(M)\,d\sigma</math>.

Основные свойства

1. <math>f</math> — гармоническая функция, только если она одновременно является суб- и супергармонической.
2. Если <math>G\subset\R^n</math> — открытое множество и <math>f\in\mathcal{C}^2(G)</math> (<math>\mathcal{C}^2(G)</math> — класс дважды непрерывно дифференцируемых на <math>G</math> функций), то для субгармоничности <math>f</math> необходимо и достаточно выполнение на <math>G</math> условия <math>\Delta f\geqslant 0</math> (<math>\Delta</math> — оператор Лапласа).
3. Субгармоническая функция не может достигать своего максимума внутри области своей субгармоничности (сравните с принципом максимума для аналитических функций). Если максимум все же достигается, то функция тождественно равна постоянной.

Свойства

• Для любой аналитической функции <math>f(z)</math> определённой на открытом множестве комплексной плоскости, функция

  <math>\varphi(z)=\log|f(z)|</math>

является субгармонической.

См. также

• Плюрисубгармоническая функция

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга