Русская Википедия:Субдифференциал

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Субдифференциал функции f, заданной на банаховом пространстве E — это один из способов обобщить понятие производной на произвольные функции. Хотя при его использовании приходится пожертвовать однозначностью отображения (значения субдифференциала в общем случае — множества, а не отдельные точки), он оказывается довольно удобным: любая выпуклая функция оказывается субдифференцируемой на всей области определения. В тех случаях, когда о дифференцируемости функции заранее ничего не известно, это оказывается существенным преимуществом.

Кроме того, субдифференциал (при довольно слабых ограничениях на функцию) по своим свойствам во многом подобен обычной производной. В частности, для дифференцируемой функции они совпадают, а для недифференцируемой он оказывается как бы «множеством возможных производных» в данной точке. Значения субдифференциала являются выпуклыми подмножествами сопряженного пространства E*.

Определение

Субдифференциалом <math>\partial f(x_0) </math> выпуклой функции <math>f\colon E \rightarrow \mathbb R</math> в точке <math>x_0 </math> называется множество, состоящее из всех линейных функционалов <math>p \in E^*</math>, удовлетворяющих для всех <math>x \in E </math> неравенству

<math> p( x-x_0 ) \leq f(x)-f(x_0) </math>.

Функция <math>f(x)</math> называется субдифференцируемой в точке <math>x_0</math>, если множество <math> \partial f(x_0) </math> непусто.

Вектор <math> p \in E^* </math>, принадлежащий субдифференциалу <math>\partial f(x_0) </math>, называется субградиентом функции <math> f(x) </math> в точке <math> x_0 </math>.

Свойства

• <math>\partial f(x_0)</math> — выпуклое (возможно пустое) множество в <math>E^* </math>

Пусть f₁(x), f₂(x) — выпуклые конечные функции, причем одна из них непрерывна в точке x, <math>\lambda \geq 0 </math>, тогда

• <math>\partial \left(f_1(x)+f_2(x) \right) = \partial \left(f_1(x) \right)+ \partial \left(f_2(x)\right) </math>, сумма понимается в смысле суммы Минковского.

• <math>\partial \left(\lambda f_1(x)\right)=\lambda \partial f_1(x) </math>

• Если функция <math>f: E \rightarrow \mathbb R</math> выпукла и непрерывна в точке <math> x \in E</math>, то она субдифференцируема в этой точке <math> x \in E</math>, то есть <math>\partial f(x)\neq \varnothing </math>, и её субдифференциал <math>\partial f(x) </math> является множеством компактным и выпуклым

• Пусть функция <math> f: E \rightarrow \mathbb R</math> выпукла и конечна. В этом случае функция <math>f(x) </math> дифференцируема по Гато в точке <math>x_0 \in E </math> тогда и только тогда, когда её субдифференциал в этой точке состоит из единственного вектора <math>\partial f(x_0)=\left\{

\frac{\partial f(x_0)}{\partial x}\right\} </math>

• Функция имеет локальный минимум в точке тогда и только тогда, когда 0 принадлежит субдифференциалу в этой точке.

• Если последовательность выпуклых функций <math>f_n</math> сходится поточечно к выпуклой функции <math>f</math>, то для любой сходящейся последовательности <math>p_n\in\partial_{x_0}f_n</math> её предел <math>p=\lim_{n\to\infty}p_n</math> принадлежит субдифференциалу <math>\partial_{x_0}f</math>.

Субдифференциал функции на одномерном интервале

Пример

Файл:Subderivative illustration.png

Выпуклая функция (синяя) и "подкасательные" к её графику в точке <math>x_0</math> (красные).

Пусть <math>f:I \to \mathbb{R}</math> — вещественнозначная выпуклая функция, определённая на принадлежащем прямой открытом интервале. Такая функция может быть дифференцируема не во всех точках. Например, функция <math>f(x)=|x|</math> недифференцируема при <math>x=0</math>. Однако, как это можно видеть на графике, расположенном справа , для всякого <math>x_0</math> из области определения через точку <math>(x_0,f(x_0))</math> может быть проведена прямая, которая либо касается графика функции <math>f(x)</math>, либо располагается под этим графиком. Допустимые наклоны таких прямых образуют то, что именуется субдифференциалом.

Определение

Субпроизводная выпуклой функции <math>f:I \to \mathbb{R}</math> в точке <math>x_0</math> на открытом интервале <math>I</math> — это вещественное число <math>c</math>, такое, что <math display="block">f(x)-f(x_0)\ge c(x-x_0)</math> для всех <math>x\in I</math>. По теореме, обратной теореме о среднем значении, для выпуклой функции множество субпроизводных в точке <math>x_0</math> — непустой замкнутый промежуток <math>[a,b]</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> — односторонние пределы <math display="block">a=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},</math> <math display="block">b=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.</math> Множество <math>[a,b]</math> всех субпроизводных называют субдифференциалом функции <math>f</math> в точке <math>x_0</math>. Субдифференциал обозначают <math>\partial f(x_0)</math>. Если функция <math>f</math> выпукла, то её субдифференциал в любой точке не пуст. Более того, если её субдифференциал в точке <math>x_0</math> содержит ровно одну субпроизводную,, то <math>\partial f(x_0)=\{f'(x_0)\}</math> и функция <math>f</math> дифференцируема в точке <math>x_0</math>.

Ссылки

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — Шаблон:М: Физматлит, 2004. — 416 с — ISBN 5-9221-0499-3.
• Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal Fundamentals of Convex Analysis. — Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.