Русская Википедия:Сублинейная функция
Сублинейной функцией в математике называется функция <math>f: V \rightarrow \R</math> над действительным векторным пространством <math>V</math> (более обще вместо поля действительных чисел можно рассматривать произвольное упорядоченное поле), для которой выполняются следующие условия:
- <math>f(\gamma x ) = \gamma f\left( x\right) </math> для всех <math>\gamma\in
\mathbb{R}_+</math> и всех x ∈ V (положительная однородность),
- <math>f(x + y) \leqslant f(x) + f(y)</math> для всех x, y ∈ V (субаддитивность).
Эквивалентные определения
Эквивалентно в определении условие субадитивности можно заменить условием выпуклости, согласно которому для функции должно выполняться неравенство:
- <math>f(\gamma x + (1 - \gamma) y) \leqslant \gamma f(x) + (1 - \gamma) f(y)</math> для всех x, y ∈ V и <math>0 \leqslant \gamma \leqslant 1</math>.
Действительно, если функция является положительно однородной и выпуклой, то:
- <math>f(x + y) = 2 f \left( \frac {x + y}{2} \right) \leqslant 2 \left (\frac {1}{2}f(x)+ \frac {1}{2}f(y)\right) = f(x) + f(y).</math>
Из сублинейности и положительной однородности тоже, очевидно, следует выпуклость. Учитывая это альтернативное определение, такой тип функций иногда называют однородно-выпуклыми. Другое распространенное название — функционал Банаха, несмотря на появление такого типа функционалов в утверждении теоремы Хана — Банаха.
Другое альтернативное определение: функция <math>f: V \rightarrow \R</math> является сублинейной тогда и только тогда, когда выполняется условие:
- <math>f(\gamma x + \delta y) \leqslant \gamma f(x) + (1 - \gamma) f(y)</math> для всех x, y ∈ V и всех <math>0 < \gamma, \delta</math>.
Примеры
- Каждая линейная функция является, очевидно, сублинейной. Сублинейной будет также и функция <math>p(x) = |f(x)|</math>, если <math>f(x)</math> — линейная.
- Длина вектора в <math>n</math>-мерном евклидовом пространстве является сублинейной функцией. Здесь условие субаддитивности означает, что длина суммы двух векторов не превышает сумму их длин (неравенство треугольника), а положительная однородность непосредственно следует из определения длины вектора в <math>\R^n.</math>
- Пусть M — пространство ограниченных последовательностей <math>x = (x_1, x_2, \ldots, x_i, \ldots).</math>
Функционал:
- <math>f(x) = \sup_i |x_i|</math>
является сублинейным.
Свойства
- <math>f(0) = 0.</math> Данное утверждение получается подстановкой x = 0 в уравнение положительной однородности.
- Ненулевая сублинейная функция может быть неотрицательной, но если <math>f(x) \leqslant 0, \, \forall x \in V</math>, тогда данная функция всюду равна нулю. Это следует из неравенства:
- <math>0 = f(x + (-x)) \leqslant f(x) + f(-x), \, \forall x \in V</math>
согласно которому если f(x) является отрицательным числом то f(-x) должно быть положительным.
- Для любого <math>\gamma</math> выполняется неравенство:
- <math>f(\gamma x ) \geqslant \gamma f\left( x\right) </math>
При <math>\gamma > 0</math> это следует из определения положительной однородности, при <math>\gamma = 0</math> — из первого свойства, если же <math>\gamma < 0</math>, то из неравенства в предыдущем свойстве получаем:
- <math>0 \leqslant f(\gamma x) + f(|\gamma| x) = f(\gamma x) + |\gamma| f( x)</math>
или:
- <math>f(\gamma x) \geqslant - |\gamma| f( x) = \gamma f( x).</math>
См. также
