Русская Википедия:Субриманово многообразие
Субри́маново многообра́зие — математическое понятие, обобщающее риманово многообразие. Суть обобщения состоит в том, что скалярное произведение задается не на касательных пространствах целиком, а только на некоторых их подпространствах (как правило, фиксированной размерности).
Тем самым, в субримановом многообразии понятие длины определено не для всех кривых, а только для так называемых горизонтальных кривых (тех, которые в каждой своей точке касаются соответствующего подпространства). Возникающая таким образом внутренняя метрика субриманова многообразия называется метрикой Карно-Каратеодори.
Определение
- Пусть <math>M</math> — гладкое многообразие размерности <math>m</math>, на котором задано гладкое распределение <math>\Delta</math> размерности <math>n < m</math>, т.е. в каждой точке <math>x\in M</math> задано линейное подпространство <math>\Delta_x</math> касательного пространства <math>T_x M</math> которое гладко зависит от точки <math>x</math>. Подпространства <math>\Delta_x</math> называются горизонтальными. Векторное поле и кривая на <math>M</math> называются горизонтальными, если они касаются распределения <math>\Delta</math> в каждой точке (в случае кривой имеются в виду все точки, в которых кривая имеет касательную).
- Распределение <math>\Delta</math> называется вполне неинтегрируемым или вполне неголономным, если в каждой точке <math>x \in M</math> любой вектор касательного пространства <math>T_xM</math> представим в виде линейной комбинации векторов вида
- <math>A,\ [A,B],\ [A,[B,C]],\ [A,[B,[C,D]]], \ \dots</math>
- с некоторыми <math>A,B,C,D, \dots \in \Delta_x</math>. Здесь <math>[A,B]</math> означает скобку Ли векторных полей.
- Многообразие <math>M</math> с определённым на нём вполне неинтегрируемым распределением <math>\Delta</math> называется субримановым, если каждое горизонтальное подпространство <math>\Delta_x \subset T_x M</math> снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, субримановым многообразием называется тройка <math>(M, \Delta, g)</math>.
Связанные понятия
Теорема Рашевского — Чоу
Теорема Рашевского — Чоу утверждает, что для любых двух точек линейно связного субриманова многообразия найдется кусочно-гладкая горизонтальная кривая, соединяющая эти точки. Эта теорема была доказана независимо советским математиком П. К. Рашевским (1938)[1] и китайским математиком Чоу (Wei-Liang Chow, 1939)[2].
В этой теореме условие гладкости вполне неголономного распределения может быть ослаблено и заменено условием лишпицевости[3].
Метрика Карно — Каратеодори
Каждое субриманово многообразие обладает метрикой, определённой по аналогии с римановым многообразием формулой
- <math>d(x, y) = \inf\int_0^1 \sqrt{g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))} \, dt,</math>
где инфимум берётся по всевозможным кусочно-гладким горизонтальным кривым, соединияющим точки x и y, то есть <math>\gamma: [0, 1] \to M</math>, <math>\gamma(0)=x</math>, <math>\gamma(1)=y</math>. Определённая таким образом метрика <math>d(x, y)</math> называется метрикой Карно-Каратеодори.
Примечания
Литература
- Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.
- ↑ Рашевский П. К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией. Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. К. Либкнехта. Сер. физ.-мат., 3:2 (1938), 83—94
- ↑ Chow W. L. Uber Systeme von linearen partiallen Differentialgleichungen erster Ordnung. Math. Ann., 117 (1939), 98—105
- ↑ К. В. Сторожук. Теорема Каратеодори-Рашевского-Чоу для липшицевых неголономных распределений. Сиб. матем. журн., 54:6 (2013), 1380—1387
