Русская Википедия:Суммы Клоостермана

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Суммы Клоостермана – предмет изучения аналитической теории чисел, тригонометрические суммы над элементами кольца вычетов, обратными по модулю элементам некоторого множества с естественной структурой (как правило, интервала или простых чисел из интервала).

Первые оценки сумм получил Клоостерман в 1926 году в связи с исследованием количества представлений чисел в виде <math>a x^2 + b y^2 + c z^2 + d t^2</math>.Шаблон:Sfn

Определение

Пусть <math>q \ge 3</math> – произвольное целое число и для <math>n \in {\mathbb F}_q</math> взаимопростого с <math>q</math> введено обозначение <math>n \overline{n} \equiv 1 \pmod q</math>. Тогда для <math>a, b \in {\mathbb F}_q</math> полной суммой Клоостермана называется сумма вида

<math>S(q; a,b) := \sum \limits_{ \stackrel{0 \le n \le q-1}{(n,q)=1} } {e_q \left({ a \overline{n} + b n }\right)}\ .</math>

Неполной называется сумма по некоторому интервалу <math>\sum \limits_{n=M+1}^{M+N} {e_q \left({ a \overline{n} + b n }\right)}</math>.Шаблон:Sfn

Иногда рассматриваются суммы по простымШаблон:Sfn, полилинейные суммы с участием обратных элементовШаблон:Sfn и другие суммы вида <math>\sum \limits_{n \in A} {e_q \left({ a \overline{n} + b n }\right)}</math>, где <math>A \subset {\mathbb F}_q</math>.

При заданном <math>q</math> обычно оцениваются суммы Клоостермана при произвольных <math>a \not = 0, b \in {\mathbb F}_q</math>, в том числе величина <math>S(q) = \max \limits_{a \not = 0, b \in {\mathbb F}_q} {S(q; a,b)}</math>.

Свойства

При <math>a = 0</math> полные суммы Клоостермана вырождаются в сумму Рамануджана.

Если <math>(q_1, q_2) = 1</math>, то <math>S(q) = S(q_1) S(q_2)</math>, поэтому вопрос оценки <math>S(q)</math> сводится к случаю <math>q = p^n</math>.

Оценки

<math>|S(q)| \le \tau(q) \sqrt{q}</math>, где <math>\tau(q)</math> – число делителей. Из этого следует, что <math>\sum \limits_{ \stackrel{0 \le n \le x}{(n,q)=1} } {e_q \left({ a \overline{n} + b n }\right)} \le \tau(q) \sqrt{q} (\log q + 1)</math> для любого <math>x < q</math>.

Для сумм последнего вида при <math>q=p,\ b=0</math> известны также другие оценки, нетривиальные при <math>x \ge \exp \left({ \Omega( (\log p)^{2/3} (\log \log p)^2 ) }\right)</math>.

Литература

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья