Суммы Клоостермана – предмет изучения аналитической теории чисел, тригонометрические суммы над элементами кольца вычетов, обратными по модулю элементам некоторого множества с естественной структурой (как правило, интервала или простых чисел из интервала).
Первые оценки сумм получил Клоостерман в 1926 году в связи с исследованием количества представлений чисел в виде <math>a x^2 + b y^2 + c z^2 + d t^2</math>.Шаблон:Sfn
Определение
Пусть <math>q \ge 3</math> – произвольное целое число и для <math>n \in {\mathbb F}_q</math> взаимопростого с <math>q</math> введено обозначение <math>n \overline{n} \equiv 1 \pmod q</math>. Тогда для <math>a, b \in {\mathbb F}_q</math> полной суммой Клоостермана называется сумма вида
- <math>S(q; a,b) := \sum \limits_{ \stackrel{0 \le n \le q-1}{(n,q)=1} } {e_q \left({ a \overline{n} + b n }\right)}\ .</math>
Неполной называется сумма по некоторому интервалу <math>\sum \limits_{n=M+1}^{M+N} {e_q \left({ a \overline{n} + b n }\right)}</math>.Шаблон:Sfn
Иногда рассматриваются суммы по простымШаблон:Sfn, полилинейные суммы с участием обратных элементовШаблон:Sfn и другие суммы вида <math>\sum \limits_{n \in A} {e_q \left({ a \overline{n} + b n }\right)}</math>, где <math>A \subset {\mathbb F}_q</math>.
При заданном <math>q</math> обычно оцениваются суммы Клоостермана при произвольных <math>a \not = 0, b \in {\mathbb F}_q</math>, в том числе величина <math>S(q) = \max \limits_{a \not = 0, b \in {\mathbb F}_q} {S(q; a,b)}</math>.
Свойства
При <math>a = 0</math> полные суммы Клоостермана вырождаются в сумму Рамануджана.
Если <math>(q_1, q_2) = 1</math>, то <math>S(q) = S(q_1) S(q_2)</math>, поэтому вопрос оценки <math>S(q)</math> сводится к случаю <math>q = p^n</math>.
Оценки
<math>|S(q)| \le \tau(q) \sqrt{q}</math>, где <math>\tau(q)</math> – число делителей. Из этого следует, что <math>\sum \limits_{ \stackrel{0 \le n \le x}{(n,q)=1} } {e_q \left({ a \overline{n} + b n }\right)} \le \tau(q) \sqrt{q} (\log q + 1)</math> для любого <math>x < q</math>.[1]
Для сумм последнего вида при <math>q=p,\ b=0</math> известны также другие оценки, нетривиальные при <math>x \ge \exp \left({ \Omega( (\log p)^{2/3} (\log \log p)^2 ) }\right)</math>.[2]
Примечания
Шаблон:Примечания
Литература
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|