Русская Википедия:Суммы Рамануджана

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Суммы Рамануджана — это тригонометрические суммы, зависящие от двух целочисленных параметров <math>k</math> и <math>n</math>, вида:

<math>c_k(n)=\sum_h\cos\left(\frac{2\pi nh}{k}\right)=\sum_h\exp\left(\frac{2\pi nhi}{k}\right),</math>

где <math>h<k,\;h\in\mathbb{Z}_0</math> и <math>(h,\;k)=1</math>.

Основным свойством сумм Рамануджана является их мультипликативность относительно индекса <math>k</math>, то есть

<math>c_{kk'}(n)=c_k(n)c_{k'}(n),</math>

если <math>(k,\;k')=1</math>.

Суммы <math>c_k(n)</math> можно представить через функцию Мёбиуса <math>\mu</math>:

<math>c_k(n)=\sum_{d\setminus(k,\;n)}\mu\left(\frac{k}{d}\right)d.</math>

Суммы Рамануджана ограничены при ограниченных либо <math>k</math>, либо <math>n</math>. Так, например, <math>c_k(1)=1</math>.

Применение сумм Рамануджана

Многие мультипликативные функции от натурального аргумента могут быть разложены в ряды по <math>c_k(n)</math>. Верно и обратное.

Основные свойства сумм позволяют вычислять суммы вида:

<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{c_k(qn)}{n^s}f(n),\quad\sum_{k=1}^\infty\frac{c_k(qn)}{k^s}f(k),</math>

где <math>f(n)</math> — мультипликативная функция, <math>q</math> — целое число, <math>s</math> — в общем случае, комплексное.

В простейшем случае, можно получить

<math>\sum_{k=1}^\infty\frac{c_k(qn)}{k^s}=\frac{\sigma_{1-s}(n)}{\zeta(s)},</math>

где <math>\zeta(s)</math> — дзета-функция Римана, <math>\sigma_k(n)</math> — сумма <math>k</math>-х степеней делителей числа <math>n</math>.

Такие суммы тесно связаны с особыми рядами некоторых аддитивных проблем теории чисел, например, представление натуральных чисел в виде чётного числа квадратов. В работе [1] приведены многие формулы, содержащие данные суммы.

Литература

1. Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. — 1918. — v. 22. — p. 259—276.
2. Hardy G. H. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1920/21. — v. 20. — p. 263—271.
3. Ramanujan S. Collected papers. — Cambridge, 1927. — p. 137—141.
4. Volkmann В. Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1974. — Bd 271. — S. 203—213.
5. Шаблон:Книга.
6. Левин В. И. Историко-математические исследования. — т. 13. — М.: ВИНИТИ, 1960.