Русская Википедия:Суперизбыточное число
Суперизбыточное число (SA от Шаблон:Lang-en) — натуральное число <math>n</math> такое, что для всех <math>m < n</math> выполнено
- <math>\frac{\sigma(m)}{m} < \frac{\sigma(n)}{n}~,</math>
где <math>\sigma</math> — функция делителей (то есть сумма всех положительных делителей числа <math>n</math>, включая <math>n</math>).
Первые несколько суперизбыточных чисел[1]: 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, …. Например, число 5 не является суперизбыточным числом, потому что для 1, 2, 3, 4 и 5 сигма равна 1, 3, 4, 7, 6, и 7/4 > 6/5.
Избыточные числа определялисьШаблон:Уточнить Леонидасом Алаоглу и Палом Эрдёшем[2]. Около 30 страниц статьи Рамануджана 1915 года «Сверхсоставные числа», которые были неизвестны Алаоглу и Эрдёшу, были закрытыШаблон:Уточнить. Эти страницы были наконец опубликованы в Журнале Рамануджана 1 (1997), 119—153Шаблон:Уточнить. В разделе 59 этой статьи Рамануджан определяет обобщённые сверхсоставные числа, которые включают в себя суперизбыточные числа.
Свойства
Леонидас Алаоглу и Пал Эрдёш (1944[2]) доказали, что если <math>n</math> суперизбыточно, то существуют <math>k</math> и <math>a_1, a_2, \dotsb, a_k</math> такие, что
- <math>n=\prod_{i=1}^k (p_i)^{a_i}~,</math>
где:
- <math>p_i</math> — <math>i</math>-е простое число;
- <math>a_1\geqslant a_2\geqslant \dotsb \geqslant a_k\geqslant 1~.</math>
То есть, они доказали, что если <math>n</math> является суперизбыточным, разложение <math>n</math> на простые числа имеет невозрастающие показатели (показатель большего простого числа никогда не больше, чем это меньшее простое число) и что все простые числа вплоть до <math> p_k </math> — множители <math>n</math>. Тогда, в частности, любое суперизбыточное число является чётным целым числом, кратным <math>k</math>-му простому <math>p_k\#</math>.
Фактически, последний показатель степени <math>a_k</math> равен 1, кроме случаев, когда <math>n</math> равно 4 или 36.
Суперизбыточные числа тесно связаны со сверхсоставными. Не все суперизбыточные числа являются сверхсоставными числами. Фактически, только 449 суперизбыточных и сверхсоставных чисел совпадают (Шаблон:OEIS). Например, 7560 сверхсоставно, но не суперизбыточно. Напротив, 1163962800 суперизбыточно, но не сверхсоставно.
Алаоглу и Эрдёш заметили, что все избыточные числа весьма избыточные.
Не все суперизбыточные числа являются числами харшад. Первым исключением является 105-й номер SA — 149602080797769600. Сумма цифр равна 81, но 81 не делится на этот номер SA равномерно.
Суперизбыточные числа также представляют интерес в связи с гипотезой Римана и теоремой Робина в связи с тем, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению:
- <math>\frac{\sigma(n)}{e^\gamma n\log\log n} < 1</math>
для всех <math>n</math>, превышающих наибольшее известное исключение, суперизбыточное число 5040. Если это неравенство имеет больший контрпример, доказывающий ложность гипотезы Римана, наименьший такой контрпример должен быть суперизбыточным числомШаблон:Sfn.
Не все суперизбыточные числа являются колоссально избыточными.
Обобщение
Обобщённые <math>k</math>-суперизбыточные числа — такие числа, что <math>\textstyle \frac{\sigma_k(m)}{m^k} < \frac{\sigma_k(n)}{n^k}</math> для всех <math>m < n</math>, где <math>\sigma_k(n)</math> является суммой <math>k</math>-х степеней делителей <math>n</math>.
1-суперизбыточные числа — суперизбыточные числа. 0-суперизбыточные числа — сверхсоставные числа.
Например, обобщёнными 2-суперизбыточными числами являются[3] 1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240, …
Примечания
Литература
Ссылки
Шаблон:Числа по характеристикам делимости Шаблон:Классы натуральных чисел
