Русская Википедия:Суперквадрики
Суперквадрики — семейство геометрических поверхностей, определяемых уравнением эллипсоида и других поверхностей второго порядка, где показатели степени 2 заменены произвольным числом. Их можно считать трёхмерными аналогами кривых Ламе (суперэллипсов).
Суперквадрики включают множество поверхностей, сходных по форме с кубом, октаэдром, цилиндром и тором со скруглёнными или острыми углами. Из-за их многообразия и относительной простоты являются популярным инструментом геометрического моделирования, включая компьютерную графику.
Некоторые авторы, например Шаблон:Нп3, включают в число суперквадрик также суперэллипсоиды и супертороиды[1][2], однако настоящие супертороиды не удовлетворяют данному выше определению; с другой стороны, некоторые суперквадрики являются суперэллипсоидами, хотя ни одно из этих семейств не включает другое.
Формулы
Неявные уравнения
В общем виде суперквадрики описываются формулой
- <math> \left|x\right|^r + \left|y\right|^s + \left|z\right|^t =1,</math>
где r, s, t — положительные действительные числа, определяющие свойства суперквадрики.
Например, если r = s = and t то в зависимости от их значения получаются следующие геометрические формы:
- r = s = t < 1: октаэдр с вогнутыми гранями и острыми рёбрами и вершинами.
- r = s = t = 1: правильный октаэдр.
- 1 < r = s = t < 2: октаэдр с выпуклыми гранями и скруглёнными рёбрами и вершинами.
- r = s = t = 2: сфера.
- r = s = t > 2: куб со скруглёнными рёбрами и вершинами.
- r = s = t = ∞: куб.
Более разнообразные формы получаются при независимом изменении параметров. Например, при r=s=2 и t=4 получается фигура вращения, похожая на эллипсоид с плоскими концами. Это частный случай суперэллипсоида, которые получаются из квадрик при r = s.
Если показатели степени могут быть отрицательными, то разнообразие поверхностей ещё более возрастает. Эти формы иногда называют «супергиперболоидами».
Канонические суперквадрики занимают пространство внутри куба со значениями каждой из координат от −1 to +1. В общем виде суперквадрика является результатом масштабирования канонической суперквадрики по каждой из трёх координатных осей. В общем виде уравнение имеет вид
- <math> \left|\frac{x}{A}\right|^r + \left|\frac{y}{B}\right|^s + \left|\frac{z}{C}\right|^t \leq 1</math>
Параметрическое описание
Параметрическое описание в координатах u (долгота) и v (широта) задаётся формулами
- <math>\begin{align}
x(u,v) &{}= A c\left(v,\frac{2}{r}\right) c\left(u,\frac{2}{r}\right) \\
y(u,v) &{}= B c\left(v,\frac{2}{s}\right) s\left(u,\frac{2}{s}\right) \\
z(u,v) &{}= C s\left(v,\frac{2}{t}\right) \\
& -\frac{\pi}{2} \le v \le \frac{\pi}{2}, \quad -\pi \le u < \pi ,
\end{align}</math> где с и s — вспомогательные функции:
- <math>\begin{align}
c(\omega,m) &{}= \sgn(\cos \omega) |\cos \omega|^m \\
s(\omega,m) &{}= \sgn(\sin \omega) |\sin \omega|^m
\end{align}</math> и
- <math> \sgn(x) = \begin{cases}
-1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ +1, & x > 0 .
\end{cases}</math>
Plotting code
Математический пакет GNU Octave генерирует суперквадрики следующим скриптом:
function retval=superquadric(epsilon,a)
n=50;
etamax=pi/2;
etamin=-pi/2;
wmax=pi;
wmin=-pi;
deta=(etamax-etamin)/n;
dw=(wmax-wmin)/n;
k=0;
l=0;
[i,j] = meshgrid(1:n+1,1:n+1)
eta = etamin + (i-1) * deta;
w = wmin + (j-1) * dw;
x = a(1) .* sign(cos(eta)) .* abs(cos(eta)).^epsilon(1) .* sign(cos(w)) .* abs(cos(w)).^epsilon(1);
y = a(2) .* sign(cos(eta)) .* abs(cos(eta)).^epsilon(2) .* sign(sin(w)) .* abs(sin(w)).^epsilon(2);
z = a(3) .* sign(sin(eta)) .* abs(sin(eta)).^epsilon(3);
mesh(x,y,z);
endfunction;
Примечания
См. также
Ссылки
- Bibliography: SuperQuadric Representations
- Superquadric Tensor Glyphs Шаблон:Wayback
- SuperQuadric Ellipsoids and Toroids, OpenGL Lighting, and Timing
- Superquadrics by Robert Kragler, The Wolfram Demonstrations Project.
- Superquadrics in Python
- Jaklič, A., Leonardis, A., Solina, F., Segmentation and Recovery of Superquadrics. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000.
