Русская Википедия:Суперсимметричная квантовая механика
В теоретической физике, суперсимметричная квантовая механика — это область исследований, где математические понятия из области физики высоких энергий применяются в области квантовой механики. Суперсимметрия, под которой понимают преобразование из бозонных операторов в фермионные и обратно, объединяет непрерывные преобразования (бозонные) и дискретные (фермионные). В современной теории бозоны связывают с переносчиками взаимодействия, а фермионы с материей, но суперсимметрия смогла объединить эти два понятия. Суперсимметрия оказалась также полезной для борьбы с расходимостями в квантовой теории поля, что обусловило интерес к этой теории[1].
Введение
Доказать последствия суперсимметрии математически сложно, и также трудно разработать теорию, которая могла бы демонстрировать нарушение симметрии, то есть отсутствие наблюдаемых партнеров частиц равной массы. Чтобы добиться прогресса в решении этих проблем, физики разработали суперсимметричную квантовую механику, то есть теорию применения суперсимметричной супералгебры в квантовой механике в отличие от квантовой теории поля. Следует надеяться, что изучение последствий суперсимметрии в этой простой постановке, приведет к новому пониманию; примечательно, что сопутствующие достижения привели к созданию новых направлений исследований в самой квантовой механике.
Например, студентов обычно учат, «решать» водородный атом в виде трудоёмкого процесса, который начинается путем включения кулоновского потенциала в уравнение Шредингера. После значительного объёма работы с использованием многих дифференциальных уравнений, анализом получают рекуррентные соотношения для полиномов Лагерра. Окончательным результатом является спектр: энергетические состояния атома водорода (обозначеные квантовыми числами n и l). С помощью идей, почерпнутых из суперсимметрии, конечный результат можно получить при значительно меньших затратах, во многом таким же образом, как при операторном методе для решения гармонического осциллятора.[2] Подобный суперсимметричный подход можно использовать, чтобы точнее найти спектра водорода, используя уравнения Дирака.[3] Как ни странно, этот подход аналогичен способу, который использовал Эрвин Шредингер впервые решая атом водорода.[4][5] Конечно, он не называл своё решение суперсимметричным так как сама теория суперсимметрии появилась на тридцать лет позже.
Суперсимметричное решение атома водорода только один пример очень общего класса решений: потенциалов инвариантной формы Шаблон:Lang-en. Эта категория включает большинство потенциалов преподаваемых в вводных курсах квантовой механики.
Суперсимметричная квантовая механика включает в себя пары гамильтонианов, между которыми имеются конкретные математические соотношения. Их называют гамильтонианы-партнеры Шаблон:Lang-en. Тогда соответствующие потенциалы в гамильтонианах называют потенциалы-партнер Шаблон:Lang-en). Основная теорема показывает, что для всех собственных состояний одного гамильтониана, его гамильтониан-партнер имеет соответствующие собственные состояния с той же энергией (за исключением, возможно, собственных состояний нулевой энергии. Этот факт можно использовать для вывода многих свойств спектра собственных состояний. Это аналог оригинального описания суперсимметрии, которая касается бозонов и фермионов. Мы можем представить себе «бозонный гамильтониан», чьи состояния являются различными бозонами нашей теории. Суперсимметричный партнёр этого гамильтониана будет «Фермионным», и его собственные состояния будут описывать фермионы. Каждому бозону соответствует фермионной партнер равной энергии — но, в релятивистском мире, энергия и масса взаимозаменяемы, поэтому мы можем просто сказать, что частицы партнеры имеют равные массы.
Концепция суперсимметрии предоставляет полезные расширения в ВКБ приближении, в виде модифицированной версией условия квантования Бора — Зоммерфельда. Кроме того, суперсимметрию применяют в не квантовой статистической механике с помощью уравнения Фоккера — Планка. Этот пример показывает, что, даже если исходная идея в физике элементарных частиц заведёт в тупик, её исследование в других областях расширило наше понимание.
Пример: гармонический осциллятор
Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора принимает вид
- <math>H^{HO} \psi_{n}(x) = \bigg(\frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+\frac{m \omega^{2}}{2}x^{2}\bigg) \psi_{n}(x) = E_{n}^{HO} \psi_{n}(x),</math>
где <math>\psi_{n}(x)</math> это <math>n</math>й уровень <math>H^{HO}</math> с энергией <math>E_{n}^{HO}</math>. Мы хотим найти выражение для <math>E_{n}^{HO}</math> как функцию <math>n</math>. Определим операторы
- <math>A = \frac{\hbar}{\sqrt{2m}}\frac{d}{dx}+W(x)</math>
и
- <math>A^{\dagger} = -\frac{\hbar}{\sqrt{2m}}\frac{d}{dx}+W(x),</math>
где <math>W(x)</math>, которой мы должны выбрать сами, называется суперпотенциалом <math>H^{HO}</math>. Определим гамильтонианы-партнеры <math>H^{(1)}</math> и <math>H^{(2)}</math> как
- <math>H^{(1)} = A^{\dagger} A = \frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} - \frac{\hbar}{\sqrt{2m}} W^{\prime}(x) + W^{2}(x)</math>
- <math>H^{(2)} = A A^{\dagger} = \frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} + \frac{\hbar}{\sqrt{2m}} W^{\prime}(x) + W^{2}(x).</math>
Основное состояние с нулевой энергией <math>\psi_{0}^{(1)}(x)</math> из <math>H^{(1)}</math> будет удовлетворять уравнению
- <math>H^{(1)} \psi_{0}^{(1)}(x) = A^{\dagger} A \psi_{0}^{(1)}(x)
= A^{\dagger} \bigg(\frac{\hbar}{\sqrt{2m}}\frac{d}{dx}+ W(x)\bigg) \psi_{0}^{(1)}(x) = 0.</math>
Предполагая, что мы знаем основное состояние гармонического осциллятора <math>\psi_{0}(x)</math> найдём <math>W(x)</math> как
- <math>W(x) = \frac{-\hbar}{\sqrt{2m}} \bigg(\frac{\psi_{0}^{\prime}(x)}{\psi_{0}(x)}\bigg) = x \sqrt{m \omega^{2}/2} </math>
Затем мы находим, что
- <math>H^{(1)} = \frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} + \frac{m \omega^{2}}{2} x^{2} - \frac{\hbar \omega}{2} </math>
- <math>H^{(2)} = \frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} + \frac{m \omega^{2}}{2} x^{2} + \frac{\hbar \omega}{2}.</math>
Теперь мы можем увидеть, что
- <math>H^{(1)} = H^{(2)} - \hbar \omega = H^{HO} - \frac{\hbar \omega}{2}.</math>
Это частный случай инвариантности формы, которая обсуждается ниже. Принимая без доказательств основную теорему, очевидно, что спектр <math>H^{(1)}</math> начинается с <math>E_{0} = 0</math> и дальше увеличивается шагами <math>\hbar \omega.</math> Спектры <math>H^{(2)}</math> и <math>H^{HO}</math> будут иметь такие же равные интервалы, но будут сдвинуты на величины <math>\hbar \omega</math> и <math>\hbar \omega / 2</math>, соответственно. Отсюда следует, что спектр <math>H^{HO}</math> принимает знакомый вид <math>E_{n}^{HO} = \hbar \omega (n + 1/2)</math>.
Супералгебра суперсимметричной квантовой механики
В обычной квантовой механике, мы узнаем, что алгебра операторов определяется коммутационными соотношения между этими операторами. Например, канонические операторы координаты и импульса имеют коммутатор <math>[x,p]=i</math>. (Здесь, мы используем «естественные единицы», где постоянная Планка устанавливается равной 1.) Более сложный случай алгебры операторов углового момента; эти величины тесно связаны с вращательной симметрией в трехмерном пространстве. Обобщая это понятие, мы определяем антикоммутатор, который задаёт отношения операторов, точно так же как и обычный коммутатор, но с противоположным знаком:
- <math>\{A,B\} = AB + BA.</math>
Если операторы связаны как антикоммутаторами, так и коммутаторами, мы говорим, что они являются частью супералгебры Ли. Допустим, у нас есть квантовая система, описываемая гамильтонианом <math>\mathcal{H}</math> и набор <math>N</math> операторов <math>Q_i</math>. Мы будем называть эту систему суперсимметричной, если следующие антикоммутационные соотношения справедливы для всех <math>i,j = 1,\ldots,N</math>:
Если это так, то мы называем <math>Q_i</math> суперзарядами системы.
Пример
Рассмотрим пример одномерной нерелятивистской частицы с 2-мя(то есть два состояния) внутренними степенями свободы и назовём их «спин» (это не совсем спин, потому что реальный спин является свойством 3D-частицы). Пусть <math>b</math> оператор, который преобразует «спин-вверх» частицы на «спин-вниз». Его сопряжённый оператор <math>b^\dagger</math> преобразует спин-вниз частицу в спин-вверх состояние. Операторы нормированы таким образом что антикоммутатор <math>\{b,b^\dagger\}=1</math>. И конечно, <math>b^2=0</math>. Пусть <math>p</math> импульс частицы и <math>x</math> её координата с <math>[x,p]=i</math>. Пусть <math>W</math> (суперпотенциал) — произвольная комплексная аналитическая функция <math>x</math> которая определяет суперсимметричные операторы
- <math>Q_1=\frac{1}{2}\left[(p-iW)b+(p+iW^\dagger)b^\dagger\right]</math>
- <math>Q_2=\frac{i}{2}\left[(p-iW)b-(p+iW^\dagger)b^\dagger\right]</math>
Обратите внимание, что <math>Q_1</math> и <math>Q_2</math> являются самосопряженными. Пусть гамильтониан
- <math>H=\{Q_1,Q_1\}=\{Q_2,Q_2\}=\frac{(p+\Im\{W\})^2}{2}+\frac{{\Re\{W\}}^2}{2}+\frac{\Re\{W\}'}{2}(bb^\dagger-b^\dagger b)</math>
где W' — это производная W. Также обратите внимание, что {Q1,Q2}=0. Это ничто иное, как N = 2 суперсимметрия. Обратите внимание, что <math>\Im\{W\}</math> действует как электромагнитный векторный потенциал.
Давайте также называть состояние «спин-вниз» «бозонным», а состояние «спин-вверх» «фермионным». Это только аналогия с квантовой теорией поля и не должно пониматься буквально. Тогда, Q1 и Q2 отображают «бозонные» состояния в «фермионные» и наоборот.
Давайте немного переформулируем:
определим
- <math>Q=(p-iW)b</math>
и конечно,
- <math>Q^\dagger=(p+iW^\dagger)b^\dagger</math>
- <math>\{Q,Q\}=\{Q^\dagger,Q^\dagger\}=0</math>
и
- <math>\{Q^\dagger,Q\}=2H</math>.
Оператор является «бозонным», если он переводит «бозонные» состояния в «бозонные» состояния и «фермионые» состояния в «фермионые» состояния. Оператор «фермионный», если переводит «бозонные» состояния в «фермионные» состояния и наоборот. Любой оператор может быть выражен единственным образом как сумма бозонного и фермионного операторов. Определим суперкоммутатор [,} следующим образом: между двумя бозонными операторами или бозонным и фермионным операторами, это ничто иное как коммутатор, но между двумя фермионными операторами, это антикоммутатор.
Тогда, x и p-бозонные операторы и b, <math>b^\dagger</math>, Q и <math>Q^\dagger</math> это фермионные операторы.
В Гейзенберговской нотации, x, b и <math>b^\dagger</math> являются функциями времени
и
- <math>[Q,x\}=-ib</math>
- <math>[Q,b\}=0</math>
- <math>[Q,b^\dagger\}=\frac{dx}{dt}-i\Re\{W\}</math>
- <math>[Q^\dagger,x\}=ib^\dagger</math>
- <math>[Q^\dagger,b\}=\frac{dx}{dt}+i\Re\{W\}</math>
- <math>[Q^\dagger,b^\dagger\}=0</math>
Эти выражения в общем случае нелинейны: то есть x(t), b(t) и <math>b^\dagger(t)</math> не образуют линейное суперсимметричное представление, потому что <math>\Re\{W\}</math> не обязательно линейны по x. Чтобы избежать этой проблемы, определим самосопряженный оператор <math>F=\Re\{W\}</math>. Тогда,
- <math>[Q,x\}=-ib</math>
- <math>[Q,b\}=0</math>
- <math>[Q,b^\dagger\}=\frac{dx}{dt}-iF</math>
- <math>[Q,F\}=-\frac{db}{dt}</math>
- <math>[Q^\dagger,x\}=ib^\dagger</math>
- <math>[Q^\dagger,b\}=\frac{dx}{dt}+iF</math>
- <math>[Q^\dagger,b^\dagger\}=0</math>
- <math>[Q^\dagger,F\}=\frac{db^\dagger}{dt}</math>
мы имеем линейное представление суперсимметрии.
Теперь введем две «формальных» величины: <math>\theta</math> и <math>\bar{\theta}</math>, где последняя, это сопряжённая первой такая, что
- <math>\{\theta,\theta\}=\{\bar{\theta},\bar{\theta}\}=\{\bar{\theta},\theta\}=0</math>
и обе они коммутируют с бозонными операторами, но антикоммутируют с фермионными.
Далее, мы определяем понятие суперполе:
- <math>f(t,\bar{\theta},\theta)=x(t)-i\theta b(t)-i\bar{\theta}b^\dagger(t)+\bar{\theta}\theta F(t)</math>
f является самосопряженным оператором. Затем,
- <math>[Q,f\}=\frac{\partial}{\partial\theta}f-i\bar{\theta}\frac{\partial}{\partial t}f,</math>
- <math>[Q^\dagger,f\}=\frac{\partial}{\partial \bar{\theta}}f-i\theta \frac{\partial}{\partial t}f.</math>
Кстати, там же имеется U(1)R симметрия, где p, x, W обладают нулевым R-зарядом, а у <math>b^\dagger</math> R-заряд равен 1 и R-заряд b равен −1.
Инвариантная форма
Предположим <math>W</math> реально для всех реальных <math>x</math>. Тогда мы можем упростить выражение для гамильтониана в
- <math>H = \frac{(p)^2}{2}+\frac{{W}^2}{2}+\frac{W'}{2}(bb^\dagger-b^\dagger b)</math>
Существуют определённые классы суперпотенциалов такие, что бозонные и фермионные гамильтонианы имеют схожие формы. Конкретно
- <math> V_{+} (x, a_1 ) = V_{-} (x, a_2) + R(a_1)</math>
где <math>a</math>параметры. Например, потенциал атома водорода, с моментом импульса <math>l</math> можно написать
- <math> \frac{-e^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{r} + \frac{h^2 l (l+1)} {2m} \frac{1}{r^2} - E_0</math>
Это соответствует суперпотенциалу <math>V_{-}</math>
- <math>W = \frac{\sqrt{2m}}{h} \frac{e^2}{2 4\pi \epsilon_0 (l+1)} - \frac{h(l+1)}{r\sqrt{2m}}</math>
- <math>V_+ = \frac{-e^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{r} + \frac{h^2 (l+1) (l+2)} {2m} \frac{1}{r^2} + \frac{e^4 m}{32 \pi^2 h^2 \epsilon_0^2 (l+1)^2}</math>
Это и есть потенциал для момент импульса <math>l+1</math> сдвинутого на константу. После решения для <math>l=0</math> основного состояние, суперсимметричные операторы можно использовать для построения остального связанных состояний спектра.
В общем, поскольку <math>V_-</math> и <math>V_+</math> являются потенциалами партнерами, они имеют тот же энергетический спектр, за исключением одной энергии основного состояния. Мы можем продолжать этот процесс нахождения потенциалов партнеров с условием инвариантности формы, посредством следующей формулы для уровней энергии в зависимости от параметров потенциала
- <math> E_n=\sum\limits_{i=1}^n R(a_i) </math>
где <math>a_i</math> параметры для нескольких потенциалов-партнёров.
Примечания
Ссылки
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Архивировано
- ↑ Таллер, Б. (1992). Уравнения Дирака. Тексты и монографии по физике. Спрингер.
- ↑ Шаблон:Citation
- ↑ Шаблон:Citation