Русская Википедия:Суперсовершенное число
Суперсовершенное число — натуральное число n, такое, что:
- <math>\sigma^2(n)=\sigma(\sigma(n))=2n\, ,</math>
где σ является суммой делителей числа n[1]. Несмотря на название, суперсовершенные числа не являются обобщением совершенных чисел. Термин был придуман Д. Сурьянараяной в 1969 году[2].
Суперсовершенные числа образуют последовательность: 2, 4, 16, 64, 4096, 65 536, 262 144, … (последовательность A019279 в OEIS).
Все чётные суперсовершенные числа имеют вид <math>2^p</math>, где <math>2^{p+1}-1</math> — простое число Мерсенна.
Неизвестно, существуют ли нечётные суперсовершенные числа. В 2000 году Хансакер и Померанс доказали, что не существует нечётных суперсовершенных чисел, меньших, чем <math>7 \times 10^{24}</math>[3].
Обобщения
Совершенные и суперсовершенные числа являются простейшими примерами широкого класса m-суперсовершенных чисел, которые удовлетворяют:
- <math> \sigma^m(n) = 2n , </math>
при m=1 и 2 соответственно[2].
m-суперсовершенные числа в свою очередь являются частным случаем (m, k)-совершенных чисел, которые удовлетворяют[4]:
- <math> \sigma^m(n) = kn , </math>.
В этих обозначениях, совершенные числа — (1,2)-совершенные числа, мультисовершенные числа — (1,k)-совершенные числа, суперсовершенные числа — (2,2)-суперсовершенные числа и m-суперсовершенные числа — (m,2)-совершенные числа.
Примеры классов (m, k)-совершенных чисел:
| m | k | (m,k)-совершенные числа | OEIS |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 8, 21, 512 | Шаблон:OEIS2C |
| 2 | 4 | 15, 1023, 29127 | Шаблон:OEIS2C |
| 2 | 6 | 42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024 | Шаблон:OEIS2C |
| 2 | 7 | 24, 1536, 47360, 343976 | Шаблон:OEIS2C |
| 2 | 8 | 60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072 | Шаблон:OEIS2C |
| 2 | 9 | 168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936 | Шаблон:OEIS2C |
| 2 | 10 | 480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296 | Шаблон:OEIS2C |
| 2 | 11 | 4404480, 57669920, 238608384 | Шаблон:OEIS2C |
| 2 | 12 | 2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120 | Шаблон:OEIS2C |
| 3 | любой | 12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, … | Шаблон:OEIS2C |
| 4 | любой | 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, … | Шаблон:OEIS2C |
Примечания
Литература
- Cohen, G. L. and te Riele, J. J. «Iterating the Sum-of-Divisors Function.» Experim. Math. 5, 93-100, 1996.
- Guy, R. K. «Superperfect Numbers.» §B9 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 65-66, 1994.
- Kanold, H.-J. "Über 'Super Perfect Numbers.' " Elem. Math. 24, 61-62, 1969.
- Lord, G. «Even Perfect and Superperfect Numbers.» Elem. Math. 30, 87-88, 1975.
- Sloane, N. J. A. Sequence A019279 in «The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.»
- Suryanarayana, D. «Super Perfect Numbers.» Elem. Math. 24, 16-17, 1969.
- Suryanarayana, D. «There Is No Odd Super Perfect Number of the Form p^(2alpha).» Elem. Math. 24, 148—150, 1973.
Шаблон:Числа по характеристикам делимости
