Русская Википедия:Существенное многообразие

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Существенные многообразия — особый тип замкнутых многообразий. Понятие было введено Громовым в исследовании систолического неравенства.

Определение

<math>n</math>-мерное замкнутое многообразие <math>M</math> называется существенным, если существует асферическое топологическое пространство <math>K</math> и непрерывное отображение <math>M\to K</math> которое переводит фундаментальный калсс <math>M</math> в ненулевой класс гомологий <math>K</math>.

Иначе говоря, фундаментальный класс <math>[M]</math> определяет ненулевой элемент в гомологиях его фундаментальной группы <math>\pi_1(M)</math>. Точнее, если <math>N</math> есть <math>K(\pi_1(M),1)</math> пространство, то отображение <math>M\to N</math> индуцирующее изоморфизм фундаментальных групп даёт нетривиальный гомоморфизм

<math>H_n(M)\to H_n(N).</math>

Здесь фундаментальный класс берётся в гомологиях с целыми коэффициентами, если многообразие ориентируемо, и коэффициентами по модулю 2 в противном  случае.

Примеры

• Все замкнутые поверхности (т. е. 2-мерные многообразия) являются существенными, за исключением 2-сферы S².
• Вещественное проективное пространство <math>\mathbb{R}\mathrm{P}^n</math> является существенным, поскольку включение

  <math>\mathbb{R}\mathrm{P}^n \to \mathbb{R}\mathrm{P}^{\infty}</math>

является инъективным в гомологиях и

<math>\mathbb{R}\mathrm{P}^{\infty} = K(\mathbb{Z}_2, 1)</math>

— это K(π,1)-пространство конечной циклической группы порядка 2.

• Все компактные асферические многообразия являются существенными (поскольку асферичность подразумевает, что многообразие само уже является K(G,1) пространством).
  • В частности, все компактные Шаблон:Нп5 являются существенными.
• Все линзовые пространства являются существенными.

Свойства

• Связная сумма существенного многообразия с любым замкнутым многообразием существенна.
• Прямое произведение существенных многообразий существенно.
• Любое многообразие, допускающее отображение ненулевой степени в существенное, также является существенным.
• Для существенных многообразий выполняется систолическое неравенство.
  • Это свойство является первопричиной введения этого определения.