Русская Википедия:Существенно особая точка

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Изолированная особая точка <math>z_{0}</math> функции <math>f(z)</math>, голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, называется существенно особой, если предел <math display="inline"> \lim_{z \to {z_0}}f(z)</math> не существует.

Критерий существенно особой точки

Точка <math>z_{0}</math> является существенной особой точкой функции <math>f(z)</math> тогда и только тогда, когда в разложении функции <math>f(z)</math> в ряд Лорана в проколотой окрестности точки <math>z_0</math> главная часть содержит бесконечное число отличных от нуля членов, то есть в разложении <math> f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} {f_k}(z-z_0)^k </math> число коэффициентов <math>f_k \neq 0</math>, <math>k<0</math>, бесконечно.

Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса

Каким бы ни было комплексное число <math>B</math>, для любого <math>\varepsilon>0</math> в любой окрестности существенно особой точки <math>z_{0}</math> найдется точка <math>z</math>, такая, что <math>|f(z)-B| < \varepsilon</math>.

См. также

Другие типы изолированных особых точек:

• Устранимая особая точка
• Полюс

Литература

• Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
• Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.