Русская Википедия:Сфера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Sphere-wireframe.png

Сфера (каркасная проекция)

Файл:Sphere and Ball.png

Сфера — поверхность шара

Сфе́ра (Шаблон:Lang-grc «мяч, шар») — геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра сферы).

Расстояние от точки сферы до её центра называется радиусом сферы. Сфера радиуса 1 называется единичной сферой.

Свойства

Сфера является поверхностью вращения, образованной вращением полуокружности вокруг своего диаметра.

Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны.

Сфера является поверхностью шара.

Сфера имеет наименьшую площадь из всех поверхностей, ограничивающих данный объём, другими словами — из всех поверхностей с данной площадью сфера ограничивает наибольший объём. Именно из-за минимизации площади поверхности силой поверхностного натяжения маленькие капли воды в невесомости приобретают сферическую форму.

Файл:Kepler-solar-system-1.png

«Кубок Кеплера»: модель Солнечной системы из пяти правильных многогранников и их вписанных и описанных сфер.

Значение в естествознании

Совершенство сферической формы издавна привлекало внимание мыслителей и учёных, которые с помощью сфер пытались объяснить гармонию окружающего мира. Древнегреческий учёный Пифагор вместе с шарообразной Землёй в центре Вселенной ввёл окружающую Землю удалённую хрустальную сферу, к которой прикреплены звёзды, и семь более близких вращающихся хрустальных сфер, к которым прикреплены Солнце, Луна и пять известных к тому времени планет (исключая Землю). Эта модель впоследствии усложнялась: Евдокс Книдский рассматривал уже 27 подобных сфер, а Аристотель — 55 хрустальных сфер. Представления о вращающихся небесных сферах господствовали по крайней мере до средних веков и даже вошли в гелиоцентрическую систему мира Николая Коперника, который назвал свой основной труд «О вращении небесных сфер» (Шаблон:Lang-la).

Небесные сферы со времён Древней Греции были частью более общей концепции гармонии сфер о музыкально-астрономическом устройстве мира, куда также входило понятие «музыка сфер». Эта концепция также существовала как минимум до средневековья. У одного из известнейших астрономов, Иоганна Кеплера, сфера занимала центральное место во всей его системе религиозно-мистических представлений, он писал: «Образ триединого бога есть сферическая поверхность, а именно: бог-отец в центре, бог-сын — на поверхности и святой дух — в симметричном отношении между центром и описанной вокруг него сферической поверхностью». Одно из первых значительных сочинений Кеплера, «Тайна мироздания» (Шаблон:Lang-la), было посвящено параметрам небесных сфер, Кеплер считал, что он открыл замечательную связь между правильными многогранниками, которых только пять, и небесными сферами шести известных к тому времени планет (включая Землю), являвшимися, по Кеплеру, описанными и вписанными сферами этих многогранников. Представления о гармонии сфер сыграли большую роль при открытии Кеплером третьего закона движений небесных тел (во всяком случае, могут рассматриваться как стимул к поиску астрономических соотношений). Однако у Кеплера небесные сферы являлись уже чисто математическими объектами, а не физически существующими телами. К тому времени Тихо Браге показал, что движение комет, в частности, Большой кометы 1577 года, несовместимо с существованием твердых небесных сфер. Как удобная математическая модель, осталась одна небесная сфера, с помощью которой астрономы по сей день представляют видимые положения звезд и планет.

Сфера в трёхмерном пространстве

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат:

<math>(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = R^2,</math>

где <math>(x_0,y_0,z_0)</math> — координаты центра сферы, <math>R</math> — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке <math>(x_0,y_0,z_0)</math>:

<math>\begin{cases}

x = x_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \cos \phi,\\ y = y_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \sin \phi,\\ z = z_0 + R \cdot \cos \theta,\\ \end{cases}</math> где <math>\theta \in [0, \pi]</math> и <math>\phi \in [0, 2\pi).</math>

Гауссова кривизна сферы постоянна и равна 1/R².

Координаты сферы, проходящей через заданные точки

Через четыре точки пространства <math>M_1(x_1,y_1,z_1)\,;\,M_2(x_2,y_2,z_2)\,;\,M_3(x_3,y_3,z_3)\,;\,M_4(x_4,y_4,z_4)\,</math> может проходить единственная сфера с центром

<math>x_0=\frac 12 \cdot \frac{A_x-B_x+C_x-D_x}{U+V+W}</math>

<math>y_0=\frac 12 \cdot \frac{A_y-B_y+C_y-D_y}{U+V+W}</math>

<math>z_0=\frac 12 \cdot \frac{A_z-B_z+C_z-D_z}{U+V+W}</math>

где:

<math>U=(z_1-z_2)(x_3 y_4-x_4 y_3)-(z_2-z_3)(x_4 y_1-x_1 y_4)</math>

<math>V=(z_3-z_4)(x_1 y_2-x_2 y_1)-(z_4-z_1)(x_2 y_3-x_3 y_2)</math>

<math>W=(z_1-z_3)(x_4 y_2-x_2 y_4)-(z_2-z_4)(x_1 y_3-x_3 y_1)</math>

<math>A_x=(x_1^2+y_1^2+z_1^2) [y_2(z_3-z_4)+y_3(z_4-z_2)+y_4(z_2-z_3)]</math>

<math>B_x=(x_2^2+y_2^2+z_2^2) [y_3(z_4-z_1)+y_4(z_1-z_3)+y_1(z_3-z_4)]</math>

<math>C_x=(x_3^2+y_3^2+z_3^2) [y_4(z_1-z_2)+y_1(z_2-z_4)+y_2(z_4-z_1)]</math>

<math>D_x=(x_4^2+y_4^2+z_4^2) [y_1(z_2-z_3)+y_2(z_3-z_1)+y_3(z_1-z_2)]</math>

<math>A_y=(x_1^2+y_1^2+z_1^2) [z_2(x_3-x_4)+z_3(x_4-x_2)+z_4(x_2-x_3)]</math>

<math>B_y=(x_2^2+y_2^2+z_2^2) [z_3(x_4-x_1)+z_4(x_1-x_3)+z_1(x_3-x_4)]</math>

<math>C_y=(x_3^2+y_3^2+z_3^2) [z_4(x_1-x_2)+z_1(x_2-x_4)+z_2(x_4-x_1)]</math>

<math>D_y=(x_4^2+y_4^2+z_4^2) [z_1(x_2-x_3)+z_2(x_3-x_1)+z_3(x_1-x_2)]</math>

<math>A_z=(x_1^2+y_1^2+z_1^2) [x_2(y_3-y_4)+x_3(y_4-y_2)+x_4(y_2-y_3)]</math>

<math>B_z=(x_2^2+y_2^2+z_2^2) [x_3(y_4-y_1)+x_4(y_1-y_3)+x_1(y_3-y_4)]</math>

<math>C_z=(x_3^2+y_3^2+z_3^2) [x_4(y_1-y_2)+x_1(y_2-y_4)+x_2(y_4-y_1)]</math>

<math>D_z=(x_4^2+y_4^2+z_4^2) [x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)]</math>

Радиус данной сферы:

<math>R=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2}</math>

Основные геометрические формулы

Площадь поверхности сферы

<math>S = 4\pi r^2 = \pi d^2</math>

Полный телесный угол сферы

<math>\Omega = 4\pi</math> стерадиан <math>\approx 41253</math> кв. градусов.

Объём шара, ограниченного сферой

<math>V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{\pi}{6} d^3.</math>

Площадь сегмента сферы высоты <math>H</math>

<math>S = 2 \pi r H </math>.

Геометрия на сфере

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие окружности являются геодезическими линиями на сфере; любые две из них пересекаются в двух точках. Иными словами, большие круги сферы являются аналогами прямых на плоскости, расстояние между точками на сфере — длина дуги проходящего через них большого круга. Углу же между прямыми на плоскости соответствует двугранный угол между плоскостями больших кругов. Многие теоремы геометрии на плоскости справедливы и в сферической геометрии, существуют аналоги теоремы синусов, теоремы косинусов для сферических треугольников. В то же время, существует немало отличий, например, в сферическом треугольнике сумма углов всегда больше 180 градусов, к трём признакам равенства треугольников добавляется их равенство по трём углам, у сферического треугольника может быть два и даже три прямых угла — например, у сферического треугольника, образованного экватором и меридианами 0° и 90°.

Расстояние между двумя точками на сфере

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так:

<math>L = R \cdot \arccos ( \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).</math>

Однако, если угол <math>\theta</math> задан не между осью Z и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью XY (как это принято в земных координатах, заданных широтой и долготой), то формула будет такая:

<math>L = R \cdot \arccos ( \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 + \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).</math>

В этом случае <math>\theta_1</math> и <math>\theta_2</math> называются широтами, а <math>\phi_1</math> и <math>\phi_2</math> долготами.

n-мерная сфера

В общем случае уравнение (n−1)-мерной сферы (в n-мерном евклидовом пространстве) имеет вид:

<math>\sum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2=r^2,</math>

где <math>(a_1,...,a_n)</math> — центр сферы, а <math>r</math> — радиус.

Пересечением двух n-мерных сфер является (n−1)-мерная сфера, лежащая на радикальной гиперплоскости этих сфер.

В n-мерном пространстве могут попарно касаться друг друга (в разных точках) не более n+1 сфер.

n-мерная инверсия переводит (n−1)-мерную сферу в (n−1)-мерную сферу или гиперплоскость.

С трёхмерной сферой связана одна из задач тысячелетия — гипотеза Пуанкаре, в которой утверждается, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно такой сфере. Эта гипотеза была доказана Г. Я. Перельманом в начале 2000-х годов на основе результатов Ричарда Гамильтона.

См. также

• Сфера Римана
• Псевдосфера
• Дикая сфера
• Гиперсфера
• Парадокс Смейла
• Сферическая система координат
• Сферический слой
• Геосфера

Литература

• Шаблон:ВТ-ТСД2
• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ