Русская Википедия:Сфера Римана
Сфе́ра Ри́мана — наглядное изображение множества <math>\widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}</math> в виде сферы, подобно тому, как множество действительных чисел изображают в виде прямой и как множество комплексных чисел изображает в виде плоскости. По этой причине термин «сфера Римана» часто используется как синоним к термину «множество комплексных чисел, дополненных бесконечно удалённой точкой», наряду с термином «расширенная комплексная плоскость».Шаблон:Sfn
При более формальном подходе под сферой Римана понимается сфера в пространстве <math>\R^3</math>, задаваемая уравнением <math>x^2+y^2+z^2=z</math>, со стереографической проекцией в плоскость <math>Oxy</math>, отождествляемой с комплексной плоскостью. Именно об этой формально определённой конструкции далее пойдёт речь.Шаблон:Sfn
Описание
Рассмотрим трёхмерное евклидово пространство <math>\R^3</math>. Координаты точек трёхмерного пространства будем обозначать <math>(\xi,\eta,\zeta)\in \R^3</math>. В <math>\R^3</math> рассмотрим сферу <math>S</math>, касающуюся плоскости <math>O\xi\eta</math> в точке <math>(0;0;0)</math>, с диаметром <math>1</math>. Такая сфера задаётся уравнением
- <math>S \colon \xi^2+\eta^2+\zeta^2=\zeta</math>.
Каждой точке плоскости <math>(\xi;\eta;0)\in O\xi\eta</math> можно поставить в соответствие точку сферы <math>M \in S</math> следующим образом. Проведём через точку <math>N=(0;0;1)</math> и <math>(\xi;\eta;0)</math> прямую; эта прямая пересечёт сферу в ещё одной точке, которую и будем считать соответствующей точке <math>(\xi;\eta;0)</math>. Такое соответствие называется стереографической проекцией с центром в <math>N</math>. Каждой точке плоскости оно однозначно сопоставляет точку сферы. Однако не каждой точке сферы сопоставляется точка плоскости: точке <math>N</math> не соответствует никакая точка плоскости. Таким образом, мы имеем взаимо-однозначное соответствие между плоскостью <math>O\xi\eta</math> и <math>S \setminus \{N\}</math>.
Плоскость <math>O\xi\eta</math> можно отождествить с комплексной плоскостью <math>\mathbb{C}</math>, <math>x+iy=(\xi,\eta,0)</math>. Тогда определённое выше соответствие задаёт непрерывное взаимо-однозначное отображение <math>\tau \colon \mathbb{C} \rightarrow S \setminus \{N\}</math>. Чтобы достроить это отображение до биекции на всю сферу, дополним множество <math>\mathbb{C}</math> ещё одной точкой, которую будем считать прообразом точки <math>N</math>. Эту точку будем называть бесконечно удалённой точкой и обозначим её через <math>\infty</math>. Мы получили биекцию <math>\pi \colon \mathbb C\cup\{\infty\} \rightarrow S</math>. Множество <math>\mathbb C\cup\{\infty\}</math> называется расширенным множеством комплексных чисел, сфера <math>S</math> — сферой Римана.Шаблон:Sfn
Описанная конструкция часто используется во многих учебниках для наглядного определения расширенного множества комплексных чисел. Действительно, топологию на этом множестве можно определить, положив открытыми множествами прообразы открытых множеств по <math>\pi</math>, операции на бесконечность распространяются по непрерывности. Определение при помощи сферы Римана полностью описывает суть расширения множества комплексных чисел, к тому же, представляет её наглядную интерпретацию.
Формальное определение
Сферой Римана называется сфера <math>S</math>, задаваемая в пространстве <math>R^3</math> уравнением
- <math>S \colon \xi^2+\eta^2+\zeta^2=\zeta</math>,
вместе с отображением <math>\pi\colon S \rightarrow \mathbb C\cup\{\infty\} </math>, задаваемым как
- <math>\pi(\xi,\eta,\zeta)=\frac{\xi+i\eta}{1-\zeta}</math>
Отображение в определении можно заменить на обратное, смысл от этого не изменится.
Координаты
Численные координаты на расширенном множестве комплексных чисел вводятся тремя способами:
- аффинная комплексная координата <math>z</math>, способная принимать значение <math>\infty</math>;
- проективные однородные комплексные координаты <math>[z_0:z_1]</math>;
- трёхмерные вещественные координаты <math>\xi, \eta, \zeta</math>, связанные уравнением:
- <math>\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = \zeta</math>
Переход от одних координат к другим задаётся формулами:
- <math>z = \frac{z_1}{z_0}</math>
- <math>z_0:z_1 = \left[\begin{matrix}\zeta:( \xi + i\eta ) &\Leftarrow\zeta>0 \\ 0:1 &\Leftarrow\zeta=0\end{matrix}\right.</math>
- <math>\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = \dfrac{z}{1+|z|^2} \\ \zeta = \dfrac{|z|^2}{1+|z|^2} \end{matrix}\right.</math>
- <math>z=\frac{\xi+i\eta}{1-\zeta}</math>Шаблон:Sfn
Сферическая метрика
Сфера Римана позволяет ввести на множестве <math>\mathbb C</math> иную метрику, отличную от евклидовой. Эта метрика называется сферической метрикой. Она определяется как евклидова метрика между соответствующими точками на сфере Римана. То есть, для двух чисел <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math>
- <math>\rho(z_1,z_2)=\sqrt{(\xi_1-\xi_2)^2+(\eta_1-\eta_2)^2+(\zeta^2-\zeta^2)}</math>
Нетрудно получить прямое выражение такого расстояния.
- <math>\rho(z_1,z_2)=\frac{|z_2-z_1|}{\sqrt{1+|z_1|^2}\sqrt{1+|z_2|^2}}</math>
Евклидова и сферические метрики эквивалентны на <math>\mathbb C</math>. Особенность сферической метрики в том, что она может быть продолжена на расширенное множество комплексных чисел, в отличие от евклидовой. Такое продолжение определяется точно также. Для двух элементов <math>z_1,z_2\in \mathbb{C} \cup \{\infty\}</math>
- <math>\rho(z_1,z_2)=\sqrt{(\xi_1-\xi_2)^2+(\eta_1-\eta_2)^2+(\zeta^2-\zeta^2)}</math>
Прямое выражение для такого расстояния, когда одна из точек бесконечность, записывается иначе.
- <math>\rho(z,\infty)=\frac{1}{\sqrt{1+|z|^2}}</math>Шаблон:Sfn
Автоморфизмы
Автоморфизмами области <math>U \subset \mathbb{C} \cup \infty</math> называются голоморфные биективные отображения этой области в себя. В случае автоморфизмов всего расширенного множества комплексных чисел обычно используют термин «автоморфизмы сферы Римана» — пример того, как термин «сфера Римана» используется в качестве синонима к термину «расширенное множество комплексных чисел». Автоморфизмами сферы Римана являются дробно-линейные преобразования (или преобразования Мёбиуса). Пусть
- <math>\left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right|\neq 0</math>
Дробно-линейное преобразование <math>f\colon \mathbb{C} \cup \infty \rightarrow \mathbb{C} \cup \infty</math> определяется как
- <math>f(z) = \frac{az+c}{bz+d}</math>,
достроенное до непрерывности во всех точках, где это выражение напрямую не определено.
Дробно-линейные отображения на сфере Римана переводят окружности в окружности.Шаблон:Sfn
Приложения
Помимо математики, сфера Римана известна в теоретической физике.
В специальной теории относительности сфера Римана является моделью небесной сферы. Преобразования Мёбиуса связаны с преобразованиями Лоренца, и описывают искажение небесной сферы для наблюдателя, движущегося с околосветовой скоростью.
Преобразования Мёбиуса и Лоренца связаны также со спинорами. В квантовой механике сфера Римана параметризует состояния систем, описываемых 2-мерным пространством (см. q-бит), в особенности спина массивных частиц со спином 1/2, таких как электрон. В этом контексте сферу Римана называют сферой Блоха и используют на ней координаты «широта-долгота» почти как на обычной сфере, только широту <math>\theta</math> отсчитывают от полюса и делят угол на 2, т. ч. <math>0<\theta<\pi/2</math> (см. рис.)
В таком случае верны соотношения:
- <math>z_0:z_1 = \cos\theta : e^{i\varphi}\sin\theta</math>
- <math>\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = e^{i\varphi}\sin{2\theta} \\\zeta-1 = \cos{2\theta}\end{matrix}\right.</math>
В поляризационной оптике сферу Римана называют сферой Пуанкаре, а оси координат — параметрами Стокса.
Внутренность сферы
Внутренность сферы (шар) допускает смысловое толкование в обоих указанных выше приложениях. Как небесная сфера является множеством светоподобных направлений пространства-времени, так и её внутренность соответствует направлениям времениподобным, то есть фактически релятивистским досветовым скоростям. Это пространство является гиперболическим (имеет постоянную отрицательную кривизну наподобие плоскости Лобачевского, только при размерности 3, а не 2); на него естественным образом распространяется действие преобразований Мёбиуса.
Внутренность сферы Блоха отвечает так называемым смешанным состояниям q-бита, и геометрически устроена как обычный шар.
Однако, и то и другое описывается положительно определёнными эрмитовыми матрицами размера 2×2, рассматриваемыми с точностью до умножения на положительное число.
Литература
Ссылки
