Русская Википедия:Сферические функции

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Harmoniques spheriques positif negatif.png
Гармонические сферические функции

Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией. Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения.

Определение

Файл:Rotating spherical harmonics.gif
Вещественные сферические функции Ylm, l=0…4 (сверху вниз), m=0…4 (слева направо). Функции отрицательного порядка Yl-m повёрнуты вокруг оси Z на 90/m градусов относительно функций положительного порядка.

Сферические функции являются собственными функциями оператора Лапласа в сферической системе координат (обозначение <math>Y_{l}^m(\theta, \varphi)</math>). Они образуют ортонормированную систему в пространстве функций на сфере <math>\mathbb{S}^2</math> в трёхмерном пространстве:

<math>\langle Y_{l}^m; Y_{l}^m \rangle = \iint |Y_{l}^m|^2 \sin{\theta}\,d\theta\,d\varphi = 1</math>
<math>\langle Y_{l}^m; Y_{l'}^{m'} \rangle = \int\limits_0^{2 \pi} \int\limits_0^{\pi} Y_{l'}^{m'*} Y_{l}^{m} \sin{\theta}\,d\theta \,d\varphi = \delta_{l l'} \delta_{m m'}</math>,

где * обозначает комплексное сопряжение, <math>\delta_{l l'}</math> — символ Кронекера.

Сферические функции имеют вид

<math>Y_{l}^m= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{i m \varphi} \Theta_{l m}(\theta)</math>,

где функции <math>\Theta_{l m}(\theta)</math> являются решениями уравнения

<math>\frac{1}{\sin{\theta}} \frac{d}{d\theta}\left(\sin{\theta} \frac{d \Theta_{l m}}{d\theta}\right) - \frac{m^2}{\sin^2{\theta}} \Theta_{l m} + l(l+1) \Theta_{l}^m = 0</math>

и имеют вид

<math>\Theta_{l}^m = \sqrt{\frac{2l+1}{2} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P^m_l (\cos\theta)</math>

Здесь <math>P^m_l (\cos\theta)</math> — присоединённые многочлены Лежандра, а <math>m!</math> — факториал.

Присоединенные многочлены Лежандра с отрицательным <math>m</math> здесь вводятся как

<math> P_{\ell}^{-m}(x)=(-1)^{m} \frac{(\ell-m) !}{(\ell+m) !} P_{\ell}^{m}(x) </math>

Решение уравнения Лапласа в сферических координатах есть так называемая шаровая функция, получаемая умножением сферической функции на решение радиального уравнения.

Вещественная форма

Файл:Sphericalfunctions.svg
Вещественные сферические функции до шестого порядка

Для сферических функций форма зависимости от угла <math>\varphi</math> — комплексная экспонента. Используя формулу Эйлера, можно ввести вещественные сферические функции. Иногда их удобнее использовать в связи с тем, что они могут быть наглядно показаны на иллюстрациях, в отличие от комплексных. Однако значимое удобство комплексных функций (утрачиваемое при переходе к вещественным) состоит в независимости квадрата их модуля <math>|Y_l^m|^2</math> от угла <math>\varphi</math>.

<math>

\begin{align} Y_{\ell m} &= \begin{cases} \displaystyle {i \over \sqrt{2}} \left(Y_\ell^{m} - (-1)^m\, Y_\ell^{-m}\right) & \text{ }\ m<0\\ \displaystyle Y_\ell^0 & \text{ }\ m=0\\ \displaystyle {1 \over \sqrt{2}} \left(Y_\ell^{-m} + (-1)^m\, Y_\ell^{m}\right) & \text{ }\ m>0. \end{cases}\\ &= \begin{cases} \displaystyle \sqrt{2} \, (-1)^m \, \operatorname{Im}[{Y_\ell^{|m|}}] & \text{ }\ m<0\\ \displaystyle Y_\ell^0 & \text{ }\ m=0\\ \displaystyle \sqrt{2} \, (-1)^m \, \operatorname{Re}[{Y_\ell^m}] & \text{ }\ m>0. \end{cases} \end{align} </math> Обратное преобразование:

<math>

Y_{\ell}^{m} = \begin{cases} \displaystyle {1 \over \sqrt{2}} \left(Y_{\ell |m|} - i Y_{\ell,-|m|}\right) & \text{ }\ m<0 \\ \displaystyle Y_{\ell 0} &\text{ }\ m=0\\ \displaystyle {(-1)^m \over \sqrt{2}} \left(Y_{\ell |m|} + i Y_{\ell,-|m|}\right) & \text{ }\ m>0. \end{cases} </math>

Иногда вещественные сферические функции называют зональными, тессеральными и секториальными[1]. Функции с m > 0 зависят от угла как косинус, а с m < 0 — как синус.

<math> Y_{\ell m} = \begin{cases} 

\displaystyle (-1)^m\sqrt{2} \sqrt{{2\ell+1 \over 4\pi}{(\ell-|m|)!\over (\ell+|m|)!}} \ 
P_\ell^{|m|}(\cos \theta) \ \sin( |m|\varphi )  
&\mbox{ } m<0 
\\
\displaystyle \sqrtШаблон:2\ell+1 \over 4\pi \ P_\ell^m(\cos \theta) 
& \mbox{ } m=0 
\\
\displaystyle (-1)^m\sqrt{2} \sqrt{{2\ell+1 \over 4\pi}{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}} \ 
P_\ell^m(\cos \theta) \ \cos( m\varphi )
& \mbox{ } m>0 \,.

\end{cases} </math>

Повороты

Файл:Rotation of octupole vector function.svg
Поворот вещественной сферической функции с m=0 и l=3. Коэффициенты не равны D-матрицам Вигнера, поскольку показаны вещественные функции, но могут быть получены при переразложении по комплексным функциям

Рассмотрим поворот системы координат <math>\mathcal R</math>, на Углы Эйлера <math> \alpha, \beta, \gamma, </math> который преобрaзует единичный вектор <math>\mathbf r</math> в вектор <math>{\mathbf r}'</math>. При этом углы <math> \theta', \varphi' </math> вектора <math>{\mathbf r}'</math> в новой системе координат выражаются через углы в старой системе координат следующим образом

<math>

\cos \theta^{\prime}=\cos \theta \cos \beta+\sin \theta \sin \beta \cos (\varphi-\alpha) 

</math>
<math>

\operatorname{ctg}\left(\varphi^{\prime}+\gamma\right)=\operatorname{ctg}(\varphi-\alpha) \cos \beta-\frac{\operatorname{ctg} \theta \sin \beta}{\sin (\varphi-\alpha)} </math>

В новой системе координат сферическая функция с индексами <math>\ell</math> и <math>m</math> будет представима в виде линейной комбинации всех функций с тем же номером <math>\ell</math> и различными <math>m</math>. Коэффициентами в линейной комбинации являются комплексно- сопряженные D-матрицы Вигнера[2]

<math>

\hat{D}(\alpha, \beta, \gamma) Y_{l}^m(\theta, \varphi)=Y_\ell^m(\theta', \varphi') = \sum_{m' = -\ell}^\ell [D^{(\ell)}_{mm'}(\alpha, \beta, \gamma)]^* Y_\ell^{m'}(\theta, \varphi), </math>

Сферические функции с номером <math>\ell</math> образуют базис неприводимого представления размерности <math>(2\ell + 1)</math> группы вращений SO(3).

Разложение плоской волны по сферическим функциям

Комплексная экспонента может быть представлена в виде разложения по сферическим функциям

<math>

e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}=4 \pi \sum_{l=0}^{\infty} i^{l} j_{l}(k r) \sum_{m=-l}^{l} Y_{l }^{m*}\left(\frac{\mathbf{r}}{|r|}\right) Y_{l}^m\left(\frac{\mathbf{k}}{|k|}\right) </math> Здесь <math>j_{n}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2 x}} J_{n+\frac{1}{2}}(x)</math> — сферическая функция Бесселя

Разложение произведений сферических функций

Разложения Клебша-Гордана для произведений двух сферических функций выглядят следующим образом [3]:

<math>
 Y_{\ell_1}^{m_1}(\Omega) Y_{\ell_2}^{m_2}(\Omega)
 = \sum_{L, M}
   \sqrt{\frac{(2 \ell_1 + 1) (2 \ell_2 + 1)}{4 \pi (2 L + 1)}}
   \langle \ell_1 \, 0 \, \ell_2 \, 0 | L \, 0 \rangle
   \langle \ell_1 \, m_1 \, \ell_2 \, m_2 | L \, M \rangle
   Y_L^M (\Omega)

</math>

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература


Приложения

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики Шаблон:Wayback
  2. ↑ M. A. Morrison, G. A. Parker. A guide to rotations in quantum mechanics Шаблон:Wayback. — Australian Journal of Physics, Vol. 40, pp. 465, 1987
  3. ↑ Варшалович Д. А., Москалёв А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. Шаблон:Wayback — Л.: Наука, 1975.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Сферические_функции&oldid=10891946