Русская Википедия:Сферический многогранник
Сферический многогранник или сферическая мозаика — это тa мозаика на сфере, в которой поверхность разделена большими дугами на ограниченные области, называемые сферическими многоугольниками. Большая часть теории симметричных многогранников использует сферические многогранники.
Наиболее известным примером сферического многогранника служит футбольный мяч, который можно понимать как усечённый икосаэдр.
Некоторые «несобственные» многогранники, такие как осоэдры и их двойственные диэдры, существуют только как сферические многогранники и не имеют аналогов с плоскими гранями. В таблице с примерами ниже {2, 6} — осоэдр, а — {6, 2} двойственный ему диэдр.
История
Первые известные сделанные человеком многогранники — это сферические многогранники, высеченные в камне. Многие из них были найдены в Шотландии и датируются периодом Неолита.
Во времена европейских «тёмных столетий» исламский учёный Абуль-Вафа аль-Бузджани написал первую серьёзную работу о сферических многогранниках.
Две сотни лет назад, в начале 19-го века, Пуансо использовал сферические многогранники для обнаружения четырёх правильных звёздчатых многогранников.
В середине 20-го века Коксетер использовал их для перечисления всех (за исключением одного) однородных многогранников, посредством калейдоскопического построения (Построение Витхоффа).
Примеры
Все правильные, полуправильные многогранники и их двойственные можно спроектировать на сферу как мозаику. В таблице ниже указаны символы Шлефли {p, q} и схема вершинной фигуры a.b.c. …:
Несобственные случаи
Сферические мозаики допускают случаи, которые невозможны для многогранников, а именно — осоэдры, правильные фигуры {2,n}, и диэдры, правильные фигуры {n,2}.
| Рисунок | Файл:Spherical digonal hosohedron.png | Файл:Spherical trigonal hosohedron.png | Файл:Spherical square hosohedron.png | Файл:Spherical pentagonal hosohedron.png | Файл:Spherical hexagonal hosohedron.png | Файл:Spherical heptagonal hosohedron.png | Файл:Spherical octagonal hosohedron.png |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Шлефли | {2,2} | {2,3} | {2,4} | {2,5} | {2,6} | {2,7} | {2,8}… |
| Коксетер | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD |
| Грани и рёбра |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Вершины | 2 | ||||||
| Рисунок | Файл:Digonal dihedron.png | Файл:Trigonal dihedron.png | Файл:Tetragonal dihedron.png | Файл:Pentagonal dihedron.png | Файл:Hexagonal dihedron.png |
| Шлефли | {2,2} | {3,2} | {4,2} | {5,2} | {6,2}… |
|---|---|---|---|---|---|
| Коксетер | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD | Шаблон:CDD |
| Грани | 2 {2} | 2 {3} | 2 {4} | 2 {5} | 2 {6} |
| Рёбра и вершины |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Связь с мозаиками на проективной плоскости
Поскольку сфера является двулистным накрытием проективной плоскости, проективные многогранники соответствуют двойному накрытию сферическими многогранниками, имеющими центральную симметрию.
Наиболее известными примерами проективных многогранников служат правильные проективные многогранники, образованные из центрально симметричных правильных многогранников, а также из бесконечных семейств чётных диэдров и осоэдров: Шаблон:Sfn
- Шаблон:Не переведено 5, {4,3}/2
- Шаблон:Не переведено 5, {3,4}/2
- Шаблон:Не переведено 5, {5,3}/2
- Полуикосаэдр, {3,5}/2
- Полудиэдр, {2p,2}/2, p>=1
- Полуосоэдр, {2,2p}/2, p>=1
См. также
- Мозаика
- Сферическая геометрия
- Сферическая тригонометрия
- Многогранник
- Шаблон:Не переведено 5
- Тороидальный многогранник
- Нотация Конвея для многогранников
Примечания
Литература
Шаблон:Rq Шаблон:Геометрические мозаики
