Русская Википедия:Сферический сегмент
Сфери́ческий сегме́нт — поверхность, часть сферы, отсекаемая от неё некоторой плоскостью. Плоскость отсекает два сегмента: меньший сегмент называется также сферическим кругомШаблон:Sfn. Если секущая плоскость проходит через центр сферы, то высота обоих сегментов равна радиусу сферы, и каждый из таких сферических сегментов называют полусферой.
Шарово́й сегме́нт — геометрическое тело, часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью. Поверхностью шарового сегмента является объединение сферического сегмента и круга (основания шарового сегмента), границы которых совпадают.
Объём и площадь поверхности
Если радиус основания сегмента равен <math>a</math>, высота сегмента равна <math>h</math>, тогда объём шарового сегмента равен [1]
- <math>V = \frac{\pi h}{6} (3a^2 + h^2),</math>
площадь поверхности сегмента равна
- <math>A = 2 \pi r h</math>
или
- <math>A=2 \pi r^2 (1-\cos \theta).</math>
Параметры <math>a</math>, <math>h</math> и <math>r</math> связаны соотношениями
- <math>r^2 = (r-h)^2 + a^2 = r^2 +h^2 -2rh +a^2,</math>
- <math>r = \frac {a^2 + h^2}{2h}.</math>
Подстановка последнего выражения в первую формулу для вычисления площади приводит к равенству
- <math>A = 2 \pi \frac{(a^2 + h^2)}{2h} h = \pi (a^2 + h^2).</math>
Заметим, что в верхней части сферы (синий сегмент на рисунке) <math> h = r - \sqrt{r^2 - a^2},</math> в нижней части сферы <math> h = r + \sqrt{r^2 - a^2},</math> следовательно, для обоих сегментов справедливо выражение <math> a = \sqrt{h(2r-h)}</math> и можно привести другое выражение для объёма:
- <math>V = \frac {\pi h^2}{3} (3r-h).</math>
Формула для определения объёма также может быть получена при интегрировании поверхности вращения:
- <math>V = \int_x^r \pi \left(r^2-x^2\right) dx = \pi \left(\frac{2}{3} r^3-r^2 x+\frac{1}{3} x^3\right) = \frac{\pi}{3} r^3 (\cos\theta + 2) (\cos\theta - 1)^2.</math>
Применение
Объём объединения и пересечения двух пересекающихся сфер
Объём объединения двух сфер радиусов Шаблон:Math и Шаблон:Math равен [2]
- <math> V = V^{(1)}-V^{(2)}</math>,
где
- <math>V^{(1)} = \frac{4\pi}{3}r_1^3 +\frac{4\pi}{3}r_2^3</math>
является суммой объёмов двух сфер по отдельности, а
- <math>V^{(2)} = \frac{\pi h_1^2}{3}(3r_1-h_1)+\frac{\pi h_2^2}{3}(3r_2-h_2)</math>
является суммой объёмов двух сферических сегментов, образующих пересечение данных сфер. Пусть Шаблон:Math — расстояние между центрами сфер, тогда исключение величин Шаблон:Math и Шаблон:Math приводит к выражению [3][4]
- <math>V^{(2)} = \frac{\pi}{12d}(r_1+r_2-d)^2 \left( d^2+2d(r_1+r_2)-3(r_1-r_2)^2 \right).</math>
Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт
Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт, является разностью площадей поверхности двух соответствующих сферических сегментов. Для сферы радиуса Шаблон:Math и широт Шаблон:Math и Шаблон:Math данная площадь равна [5]
- <math>A=2 \pi r^2 |\sin \varphi_1 - \sin \varphi_2|.</math>
Площадь квадратного участка поверхности шара
Участок, вырезанный на сфере радиуса Шаблон:Math четырьмя дугами больших кругов, имеющими одинаковую угловую длину Шаблон:Math и попарно перпендикулярными (сферический квадрат, аналог квадрата на плоскости), имеет площадь
- <math>A=8 r^2 (1-\cos \theta/2).</math>
Если угол Шаблон:Math мал (по сравнению с 1 радианом), то справедливо приближённое равенство, основывающееся на приближении <math>\cos x \to 1 - x^2/2</math> при <math>x \to 0 :</math>
- <math>A \approx 8 r^2 \frac{\theta^2}{8} = r^2 \theta^2.</math>
Например, площадь квадратного участка поверхности Земли (Шаблон:R+ = 6378 км) со сторонами, равными 1 градусу, составляет
- <math>A(1^\circ) = 8 \cdot R_\oplus^2 (1 - \cos 0{,}5^\circ) \approx R_\oplus^2\cdot \left(\frac{\pi}{180}\right)^2 \approx 12\,391 \,\text{км}^2.</math>
1 квадратная секунда поверхности Земли имеет площадь в 36002 раз меньше: Шаблон:Math ≈ 12 391 км2 / (60 · 60)2 ≈ 956 м2.
Обобщения
Сечения других тел
Сфероидальный сегмент получается при отсечении части сфероида таким образом, что она обладает круговой симметрией (обладает осью вращения). Аналогичным образом определяют эллипсоидальный сегмент.
Сегмент гиперсферы
Объём <math>n</math>-мерного сегмента гиперсферы высотой <math>h</math> и радиуса <math>r</math> в <math>n</math>-мерном евклидовом пространстве определяется по формуле [6]
- <math>V = \frac{\pi ^ {\frac{n-1}{2}}\, r^{n}}{\,\Gamma \left ( \frac{n+1}{2} \right )} \int\limits_{0}^{\arccos\left(\frac{r-h}{r}\right)}\sin^n t \,\mathrm{d}t ,</math>
где <math>\Gamma</math> (гамма-функция) задаётся выражением <math> \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t .</math>
Выражение для объёма <math>V</math> можно переписать в терминах объёма единичного <math>n</math>-мерного шара <math>C_{n}={\pi^{n/2}/\Gamma\left[1+\frac{n}{2}\right]}</math> и гипергеометрической функции <math>{}_{2}F_{1}</math> или регуляризованной неполной бета-функции <math>I_x(a,b)</math> как
- <math>V = C_{n} \, r^{n} \left( \frac{1}{2}\, - \,\frac{r-h}{r} \,\frac{\Gamma[1+\frac{n}{2}]}{\sqrt{\pi}\,\Gamma[\frac{n+1}{2}]}
{\,\,}_{2}F_{1}\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1-n}{2};\tfrac{3}{2};\left(\tfrac{r-h}{r}\right)^{2}\right)\right) =\frac{1}{2}C_{n} \, r^n I_{(2rh-h^2)/r^2} \left(\frac{n+1}{2}, \frac{1}{2} \right) .</math>
Формула для площади поверхности <math>A</math> может быть записана в терминах площади поверхности единичного <math>n</math>-мерного шара <math>A_{n}={2\pi^{n/2}/\Gamma\left[\frac{n}{2}\right]}</math> как
- <math>A =\frac{1}{2}A_{n} \, r^{n-1} I_{(2rh-h^2)/r^2} \left(\frac{n-1}{2}, \frac{1}{2} \right),</math>
где <math>0\le h\le r .</math>
Также справедливы следующие формулы[7]: <math> A=A_n p_ { n-2 } (q),\quad V=V_n p_n (q) ,</math> где <math> q= 1-h/r (0 \le q \le 1 ),\quad p_n (q) = \frac{1-G_n(q)/G_n(1)}{2} ,</math>
- <math> G _n(q)= \int \limits_{0}^{q} (1-t^2) ^ { (n-1) /2 } dt .</math>
При <math> n=2k+1: </math>
- <math> G_n(q) = \sum_{i=0}^k (-1) ^i \binom k i \frac {q^{2i+1}} {2i+1} .</math>
Было показано[8], что при <math> n \to \infty </math> и <math>q\sqrt n = \text{const }</math> <math> p_n (q) \to 1- F({q \sqrt n}) , </math> где <math> F() </math> — стандартное нормальное распределение.
Литература
Примечания
