Сферо́ид Макло́рена — сплюснутый сфероид, возникающий в случае вращения самогравитирующего жидкого тела с однородным распределением плотности с постоянной угловой скоростью. Сфероид назван в честь шотландского математика Колина Маклорена, предположившего такую форму Земли в 1742 году[1]. На самом деле Земля существенно менее сплюснута, поскольку не является однородной и обладает плотным железным ядром. Сфероид Маклорена считается простейшей моделью эллипсоидальной фигуры вращения в состоянии равновесия, поскольку обладает постоянной плотностью.
Файл:Maclaurin spheroid.svgКвадрат угловой скорости (в единицах <math>\pi G\rho</math>) для сфероида Маклорена
Для сплюснутого сфероида с большой полуосью <math>a</math> и малой полуосью <math>c</math> угловая скорость <math>\Omega</math> задаётся формулой Маклорена
где <math>e</math> является эксцентриситетом меридионального сечения сфероида, <math>\rho</math> — плотность, <math>G</math> — гравитационная постоянная. Формула предсказывает два возможных типа фигуры равновесия при <math>\Omega\rightarrow 0</math>, одной из них является сфера (<math>e\rightarrow 0</math>), другой является плоский сфероид (<math>e\rightarrow 1</math>).
Максимальная угловая скорость возникает при эксцентриситете <math>e=0{,}92995</math>, значение квадрата максимальной угловой скорости равно <math>\Omega^2=0{,}449331 \pi G\rho</math>, то есть выше этой скорости фигуры равновесия не существует. Это противоречит наблюдательным данным. Причиной противоречия может быть наличие двух нереалистичных предположений: одно состоит в однородности распределения плотности, другое — в том, что форма поверхности представляет собой простую квадрику.
Момент импульса <math>L</math> сфероида Маклорена задаётся выражением
где <math>M = \frac{4\pi}{3}\rho a^3 \sqrt{1-e^2}</math> — масса сфероида, <math>\bar{a} = (a^2c)^{1/3}</math> — средний радиус, то есть радиус сферы такого же объёма, что и сфероид. В более простом выражении[2]
Для сфероида Маклорена с эксцентриситетом более 0,812670[2] трёхосный Шаблон:Iw с тем же моментом импульса обладает меньшей полной энергией. Если такой эллипсоид состоит из вязкой жидкости и не испытывает возмущений, способных нарушить симметрию вращения, то он вытянется и примет форму эллипсоида Якоби, при этом часть энергии перейдёт в тепловую форму. Для аналогичного сфероида из невязкой жидкости возмущения приведут к незатухающим колебаниям.
Сфероид Маклорена с эксцентриситетом более 0,952887[2] динамически неустойчив. Даже если объект состоит из невязкой жидкости и не теряет энергию, малые возмущения будут расти по экспоненциальному закону. Динамическая неустойчивость подразумевает вековую неустойчивость[3].
