Русская Википедия:Схема с разностями против потока

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Схема с разностями против потока в вычислительной физике — класс методов дискретизации для решения (явными схемами) дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа (гиперболических уравнений).

Например, одномерное уравнение волны имеет вид

<math> \qquad \frac{\partial u}{\partial t} + a \frac{\partial u}{\partial x} = 0 </math>

Оно описывает распространение волны в направлении <math>x</math> со скоростью <math>a</math>. Такое уравнение также является математической моделью одномерной линейной адвекции. Рассматривая обыкновенную точку сетки <math>i</math>, в одномерном случае есть только два допустимых направления, левое и правое. Если <math>a</math> положительна, то левая сторона называется направлением против потока, а правая сторона называется направлением по потоку. (Если <math>a</math> отрицательна, то наоборот). Если при использовании конечных разностей для пространственной производной <math>\partial u / \partial x</math> содержит больше точек на стороне против потока, то схема называется схемой с разностями против потока.

Первого порядка

Простейший пример, пример первого порядка:

<math>\quad (1) \qquad \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} + a \frac{u_i^n - u_{i-1}^n}{\Delta x} = 0 \quad \text{for} \quad a > 0</math>

<math>\quad (2) \qquad \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} + a \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} = 0 \quad \text{for} \quad a < 0</math>

Компактная форма

Определяя

<math>\qquad \qquad a^+ = \text{max}(a,0)\,, \qquad a^- = \text{min}(a,0)</math>

<math>\qquad \qquad u_x^- = \frac{u_i^{n} - u_{i-1}^{n}}{\Delta x}\,, \qquad u_x^+ = \frac{u_{i+1}^{n} - u_{i}^{n}}{\Delta x}</math>,

два условных уравнения (1) и (2) можно записать в одном:

<math>\quad (3) \qquad u_i^{n+1} = u_i^n - \Delta t \left[ a^+ u_x^- + a^- u_x^+ \right]</math>

Такое уравнение представляет схемы с разностями против потока в общем виде. Стабильность схемы с разностями против потока определяется критерием Куранта — Фридрихса — Леви.