Сходимость по Борелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное французским математиком Эмилем Борелем. Существует два неэквивалентных определения, которые связывают с именем Бореля.
Определение
- Пусть дан числовой ряд <math>\sum_{n=0}^\infty a_n.</math> Ряд называется сходящимся по Борелю (или B-сходящимся), если существует предел:
- <math>\lim_{x \to \infty} e^{-x} \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}S_k = S,</math> где Sk — частичные суммы ряда. Число S тогда называется борелевской суммой ряда.
- Пусть дан числовой ряд <math>\sum_{n=0}^\infty a_n.</math> Ряд называется сходящимся по Борелю (или B'-сходящимся), если существует интеграл:
- <math>\int_0^\infty dt e^{-t}\sum_n\frac{a_n}{n!}t^n = S</math>
Пример
Рассмотрим ряд <math>\sum_0^\infty n!x^n.</math> Данный ряд является расходящимся для произвольного <math>x\neq 0.</math> Однако по интегральным определениям сходимости по Борелю имеем:
- <math>\sum_0^\infty n!x^n=\int_0^\infty dt e^{-t}\sum_{n=0}^\infty (xt)^n =\int _0^\infty dt\frac{e^{-t}}{1-xt},</math>
и сумма является определённой для отрицательных значений x.
Свойства
Пусть функция:
- <math>f(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_k z^{k}</math>
регулярна в нуле и С — множество всех её особенных точек. Через каждую точку <math>P \in C</math> проведём отрезок <math>OP</math> и прямую <math>L_p\,,</math>, которая проходит через точку Р перпендикулярно к <math>OP</math>. Множество точек, лежащих по одну сторону с нулём к каждой из прямых <math>L_p\,,</math> обозначим <math>\Pi</math>. Тогда граница <math>\Gamma</math> области <math>\Pi</math> называется многоугольником Бореля функции f(z), а область <math>\Pi</math> её внутренней областью. Справедлива теорема: ряд
- <math> \sum_{k = 0}^\infty a_k z^{k}</math>
является B-сходящимся в области <math>\Pi</math> и не является B-сходящимся в области <math>\Pi^*</math> — дополнены до <math>\Pi</math> .
См. также
Ссылки
Литература
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
- Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.
- Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .
Шаблон:Rq
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|