Русская Википедия:Сходимость по Борелю

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Сходимость по Борелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное французским математиком Эмилем Борелем. Существует два неэквивалентных определения, которые связывают с именем Бореля.

Определение

• Пусть дан числовой ряд <math>\sum_{n=0}^\infty a_n.</math> Ряд называется сходящимся по Борелю (или B-сходящимся), если существует предел:

<math>\lim_{x \to \infty} e^{-x} \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}S_k = S,</math> где S_k — частичные суммы ряда. Число S тогда называется борелевской суммой ряда.

• Пусть дан числовой ряд <math>\sum_{n=0}^\infty a_n.</math> Ряд называется сходящимся по Борелю (или B^'-сходящимся), если существует интеграл:

<math>\int_0^\infty dt e^{-t}\sum_n\frac{a_n}{n!}t^n = S</math>

Пример

Рассмотрим ряд <math>\sum_0^\infty n!x^n.</math> Данный ряд является расходящимся для произвольного <math>x\neq 0.</math> Однако по интегральным определениям сходимости по Борелю имеем:

<math>\sum_0^\infty n!x^n=\int_0^\infty dt e^{-t}\sum_{n=0}^\infty (xt)^n =\int _0^\infty dt\frac{e^{-t}}{1-xt},</math>

и сумма является определённой для отрицательных значений x.

Свойства

Пусть функция:

<math>f(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_k z^{k}</math>

регулярна в нуле и С — множество всех её особенных точек. Через каждую точку <math>P \in C</math> проведём отрезок <math>OP</math> и прямую <math>L_p\,,</math>, которая проходит через точку Р перпендикулярно к <math>OP</math>. Множество точек, лежащих по одну сторону с нулём к каждой из прямых <math>L_p\,,</math> обозначим <math>\Pi</math>. Тогда граница <math>\Gamma</math> области <math>\Pi</math> называется многоугольником Бореля функции f(z), а область <math>\Pi</math> её внутренней областью. Справедлива теорема: ряд

<math> \sum_{k = 0}^\infty a_k z^{k}</math>

является B-сходящимся в области <math>\Pi</math> и не является B-сходящимся в области <math>\Pi^*</math> — дополнены до <math>\Pi</math> .

См. также

• Сходимость по Чезаро
• Сходимость по Пуассону — Абелю
• Сходимость по Эйлеру

Ссылки

• Borel summation method, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Borel Summation

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
• Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .