Русская Википедия:Сходимость по Эйлеру

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Сходимость по Эйлеру — обобщение понятия сходимости знакопеременного ряда, предложенное Эйлером.

Определение

Пусть дан числовой ряд <math>\sum_{n=0}^\infty a_n.</math> Ряд называется сходящимся по Эйлеру, если существует предел:Шаблон:Sfn

<math>\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\Delta ^{k} a_{0}}{2^{k+1}} = s_{e}(A)</math>

Пример

• Рассмотрим ряд <math>\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} 2^{k}</math>. Последовательностями разностей будут <math>1, 2, 4, 8, 16, ...</math>, <math>-1, -2, -4, -8, ...</math>, <math>1, 2, 4, 8, ...</math>, <math>-1, -2, -4, -8, ...</math>, преобразование Эйлера приводит к ряду <math>\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + ... = \frac{1}{3}</math>.

Свойства

• Суммирование по Эйлеру является линейным и регулярнымШаблон:Sfn.

См. также

• Сходимость по Борелю
• Сходимость по Чезаро
• Сходимость по Пуассону — Абелю

Литература

• Шаблон:Книга