Русская Википедия:Сюръекция
Сюръе́кция или сюръекти́вное отображе́ние (от Шаблон:Lang-fr «на, над» + Шаблон:Lang-la «бросаю») — отображение множества <math>X</math> на множество <math>Y</math> <math>(f\colon X\to Y)</math>, при котором каждый элемент множества <math>Y</math> является образом хотя бы одного элемента множества <math>X</math>, то есть <math>\forall y\in Y\;\exists x\in X:y=f(x)</math>; иными словами — функция, принимающая все возможные значения. Иногда говорят, что сюръективное отображение <math>f\colon X \to Y</math> отображает <math>X</math> на <math>Y</math> (инъективное отображение в общем случае отображает <math>X</math> в <math>Y</math>).
Отображение <math>f\colon X\to Y</math> сюръективно тогда и только тогда, когда образ множества <math>X</math> при отображении <math>f</math> совпадает с <math>Y</math>: <math>f(X) = Y</math>. Также сюръективность функции <math>f</math> эквивалентна существованию правого обратного отображения к <math>f</math>.
Строго говоря, понятие сюръекции <math>f\colon X\to Y</math> привязано к множеству <math>Y</math>: корректно говорить вместо обычно допускаемой вольности речи «сюръекция» точное «сюръекция на <math>Y</math>». Фактически понятно, что каждое отображение является сюръекцией на свой образ: если <math>Z=\{y:f(x)=y\}</math>, то <math>f\colon X\to Y</math> — сюръекция на <math>Z</math>, поскольку формально также <math>f\colon X\to Z</math> по определению отображения.
Понятие сюръекции (наряду с инъекцией и биекцией) введено в обиход в трудах Бурбаки и получило всеобщее распространение практически во всех разделах математики.
Примеры
- <math>f\colon \R\to[-1;\;1],\;f(x)=\sin x</math> — сюръективно.
- <math>f\colon \R\to\R_+,\;f(x)=x^2</math> — сюръективно.
- <math>f\colon \R\to\R,\;f(x)=x^2</math> — не является сюръективным (например, не существует такого <math>x\in\R</math>, что <math>f(x)=-9</math>).
Применение
- В топологии важное понятие расслоения определяется как произвольное непрерывное сюръективное отображение топологических пространств (расслоённого пространства в базу расслоения).
- Организация связи «многие к одному» между таблицами в сущностях реляционной модели данных может быть рассмотрена как сюръективная функция.
Обобщения
- В теории категории понятие сюръекции обобщено в понятии эпиморфизма, притом в некоторых категориях эти понятия совпадают.
Литература
