Русская Википедия:Таблица истинности

Шаблон:Falseredirect Таблица истинности — таблица, описывающая логическую функцию.

Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения «истина» либо «ложь» (<math>true</math> либо <math>false</math>, <math>1</math> либо <math>0</math>).

Табличное задание функций встречается не только в логике, но и в логических функциях. Таблицы оказались довольно удобными, и с начала XX века за ними закрепилось это специальное название. Особенно часто таблицы истинности применяются в булевой алгебре.

Таблицы истинности для основных двоичных логических функций

Область определения аргументов и область значения двоичных логических функций принадлежат множеству <math>\{0,1\}</math> и принято, что <math>0<1</math>.

Двоичные логические функции 1 переменной (унарные)

Идентичность

(логическая тождественность)

<math>a</math>	<math>\mathrm{id}(a)</math>
<math>0</math>	<math>0</math>
<math>1</math>	<math>1</math>
<math>\mathrm{id}(a)</math> истинно, если <math>a</math> истинно; ложно, если <math>a</math> ложно

Отрицание

(НЕ, NOT, логическая инверсия)

<math>a</math>	<math>\neg a</math>
<math>0</math>	<math>1</math>
<math>1</math>	<math>0</math>
<math>\neg a</math> истинно, если <math>a</math> ложно; ложно, если <math>a</math> истинно

Двоичные логические функции 2 переменных

Конъюнкция

(И, AND, логическое умножение)

<math>a</math>	<math>b</math>	<math>a \land b</math>
<math>0</math>	<math>0</math>	<math>0</math>
<math>0</math>	<math>1</math>	<math>0</math>
<math>1</math>	<math>0</math>	<math>0</math>
<math>1</math>	<math>1</math>	<math>1</math>
<math>a \land b</math> истинно, если истинно <math>a</math> и истинно <math>b</math>

Дизъюнкция

(ИЛИ, OR, логическое сложение)

<math>a</math>	<math>b</math>	<math>a \lor b</math>
<math>0</math>	<math>0</math>	<math>0</math>
<math>0</math>	<math>1</math>	<math>1</math>
<math>1</math>	<math>0</math>	<math>1</math>
<math>1</math>	<math>1</math>	<math>1</math>
<math>a \lor b</math> истинно, если истинно <math>a</math> или истинно <math>b</math>

Эквиваленция

(EQ, XNOR, логическая равнозначность)

<math>a</math>	<math>b</math>	<math>a \leftrightarrow b</math>
<math>0</math>	<math>0</math>	<math>1</math>
<math>0</math>	<math>1</math>	<math>0</math>
<math>1</math>	<math>0</math>	<math>0</math>
<math>1</math>	<math>1</math>	<math>1</math>
<math>a \leftrightarrow b</math> истинно, если <math>a = b</math>

Исключающее «или»

(XOR, логическая неравнозначность)

<math>a</math>	<math>b</math>	<math>a \oplus b</math>
<math>0</math>	<math>0</math>	<math>0</math>
<math>0</math>	<math>1</math>	<math>1</math>
<math>1</math>	<math>0</math>	<math>1</math>
<math>1</math>	<math>1</math>	<math>0</math>
<math>a \oplus b</math> истинно, если <math>a \neq b</math>

Импликация

(логическое неравенство "не более")

<math>a</math>	<math>b</math>	<math>a \rightarrow b</math>
<math>0</math>	<math>0</math>	<math>1</math>
<math>0</math>	<math>1</math>	<math>1</math>
<math>1</math>	<math>0</math>	<math>0</math>
<math>1</math>	<math>1</math>	<math>1</math>
<math>a \rightarrow b</math> истинно, если <math>a \leqslant b</math>

Обратная импликация

(логическое неравенство "не менее")

<math>a</math>	<math>b</math>	<math>a \leftarrow b</math>
<math>0</math>	<math>0</math>	<math>1</math>
<math>0</math>	<math>1</math>	<math>0</math>
<math>1</math>	<math>0</math>	<math>1</math>
<math>1</math>	<math>1</math>	<math>1</math>
<math>a \leftarrow b</math> истинно, если <math>a \geqslant b</math>

Штрих Шеффера

(И-НЕ, NAND, инверсия конъюнкции)

<math>a</math>	<math>b</math>	<math>a \mid b</math>
<math>0</math>	<math>0</math>	<math>1</math>
<math>0</math>	<math>1</math>	<math>1</math>
<math>1</math>	<math>0</math>	<math>1</math>
<math>1</math>	<math>1</math>	<math>0</math>
<math>a \mid b</math> истинно, если ложно <math>a</math> или ложно <math>b</math>

Стрелка Пирса

(ИЛИ-НЕ, NOR, инверсия дизъюнкции)

<math>a</math>	<math>b</math>	<math>a \downarrow b</math>
<math>0</math>	<math>0</math>	<math>1</math>
<math>0</math>	<math>1</math>	<math>0</math>
<math>1</math>	<math>0</math>	<math>0</math>
<math>1</math>	<math>1</math>	<math>0</math>
<math>a \downarrow b</math> истинно, если ложно <math>a</math> и ложно <math>b</math>

Двоичные логические функции 3 переменных (тернарные)

Условная дизъюнкция
<math>a</math>	<math>b</math>	<math>c</math>	<math>[a, b, c]</math>
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Истинность функции <math>[a, b, c]</math> определяется по формуле: "если значение <math>a</math> истинно, то результатом функции будет значение <math>b</math>, иначе - значение <math>c</math>", что соответствует тернарной условной операции.

Помимо условной дизъюнкции существуют и другие функционально полные тернарные операции.

Размер двоичной таблицы истинности

Если дано n входных параметров двоичной функции, то можно описать 2ⁿ возможных комбинаций таблиц истинности. Так как функции возвращают значения истина или ложь для каждой комбинации, то количество различных значений функций от n переменных равны значению двойной экспоненциальной функции 2^2ⁿ.

n	2ⁿ	2^2ⁿ
0	1	2
1	2	4
2	4	16
3	8	256
4	16	65,536
5	32	4,294,967,296	≈ 4.3Шаблон:E
6	64	18,446,744,073,709,551,616	≈ 1.8Шаблон:E
7	128	Шаблон:Val	≈ 3.4Шаблон:E
8	256	Шаблон:Val	≈ 1.2Шаблон:E

Таблицы истинности для функций 3 и более переменных встречаются редко.

Таблицы истинности для некоторых троичных логических функций

Область определения аргументов и область значения троичных логических функций принадлежат множеству <math>\{0,1,2\}</math> и принято, что <math>0<1<2</math>:

x	2	1	0	2	1	0	2	1
y	2	2	2	1	1	1	0	0
min(x,y)	2	1	0	1	1	0	0	0

x	2	1	0	2	1	0	2	1
y	2	2	2	1	1	1	0	0
max(x,y)	2	2	2	2	1	1	2	1

x	2	1	0	2	1	0	2	1	0
y	2	2	2	1	1	1	0	0	0
F2TN22310	0	0	0	0	2	2	0	2	1

Программирование

В программировании обозначение логических операций зависит от синтаксиса конкретного языка программирования, однако, зачастую, применяются следующие обозначения:

Эквиваленция: =, ==
Отрицание: NOT, НЕ, !
Конъюнкция: AND, И, &, &&
Дизъюнкция: OR, ИЛИ, |, ||
Исключающее «или»: XOR, ~

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Книга

Ссылки

Шаблон:Булева алгебра

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.