Русская Википедия:Таблица производных

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Вычисление производной — операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.

В этих формулах <math>f</math> и <math>g</math> — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а <math>c</math> — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Производные простых функций

• <math>{d \over dx} c = 0</math>

• <math>{d \over dx} x = 1</math>

• <math>{d \over dx} cx = c</math>

• <math>{d \over dx} x^c = cx^{c-1},</math>        когда <math>x^c</math> и <math>cx^{c-1}</math> определены, <math>c \ne 0</math>

• <math>{d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0</math>

Шаблон:Вывод\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|}</math> }}

• <math>{d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}</math>

• <math>{d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}</math>

• <math>{d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0</math>

• <math>{d \over dx} \sqrt [n] {x} = {d \over dx} x^{1\over n} = {1 \over n} x^{1-n\over n} = \frac {1} {n \cdot \sqrt [n] {x^{n-1}}}</math>

Производные экспоненциальных и логарифмических функций

• <math>{d \over dx} c^x = {c^x \ln c},\qquad c > 0</math>

• <math>{d \over dx} e^x = e^x</math>

• <math>{d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}</math>

• <math>{d \over dx} \ln x = {1 \over x}</math>
• <math>{d \over dx} \log_a x = \frac{ \log_a e} {x} = \frac {1} {x \ln a}</math>

• <math>\frac{d}{dx} \log_a f(x) = \frac{d}{dx} \frac {\ln f(x)}{\ln(a)} = \frac{ f'(x) }{ f(x) \ln(a)}.</math>

Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций

• <math>{d \over dx} \sin x = \cos x</math>

• <math>{d \over dx} \cos x = -\sin x</math>

• <math>{d \over dx}\,\operatorname{tg}\,x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = \operatorname{tg}^2 x + 1</math>

• <math>{d \over dx}\,\operatorname{ctg}\,x = -\,\operatorname{cosec}^2\,x = -{1 \over \sin^2 x}</math>

• <math>{d \over dx} \sec x =\,\operatorname{tg}\,x \sec x</math>

• <math>{d \over dx} \,\operatorname{cosec}\,x = -\,\operatorname{ctg}\,x \,\operatorname{cosec}\,x</math>

• <math>{d \over dx} \arcsin x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}</math>

• <math>{d \over dx} \arccos x = -{1 \over \sqrt{1 - x^2}}</math>

• <math>{d \over dx} \,\operatorname{arctg}\,x = { 1 \over 1 + x^2}</math>

• <math>{d \over dx} \,\operatorname{arcctg}\,x = -{1 \over 1 + x^2}</math>

• <math>{d \over dx} \arcsec x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}</math>

• <math>{d \over dx} \,\operatorname{arccosec}\,x = -{1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}</math>

Производные гиперболических функций

<math>{d \over dx}\,\operatorname{sh}\,x = \,\operatorname{ch}\,x</math>

<math>{d \over dx}\,\operatorname{ch}\,x = \,\operatorname{sh}\,x</math>

<math>{d \over dx}\,\operatorname{th}\,x = \,\operatorname{sech}^2\,x = 1 - \operatorname{th}^2\, x</math>

<math>{d \over dx}\,\operatorname{sech}\,x = - \operatorname{th} x\,\operatorname{sech}\,x</math>

<math>{d \over dx}\,\operatorname{cth}\,x = -\,\operatorname{csch}^2\,x</math>

<math>{d \over dx}\,\operatorname{csch}\,x = -\,\operatorname{cth}\,x\,\operatorname{csch}\,x</math>

<math>{d \over dx}\,\operatorname{arsh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}</math>

<math>{d \over dx}\,\operatorname{arch}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}</math>

<math>{d \over dx}\,\operatorname{arth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}</math>, при <math>|x|<1</math>

<math>{d \over dx}\,\operatorname{arsech}\,x = -{1 \over x\sqrt{1 - x^2}}</math>

<math>{d \over dx}\,\operatorname{arcth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}</math>, при <math>|x|>1</math>

<math>{d \over dx}\,\operatorname{arcsch}\,x = -{1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}</math>

Правила дифференцирования общих функций

<math>\left({cf}\right)' = cf'</math>

<math>\left({f + g}\right)' = f' + g'</math>

<math>\left({f - g}\right)' = f' - g'</math>

<math>\left({fg}\right)' = f'g + fg'</math> (частный случай формулы Лейбница)

<math>\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0</math>

<math>(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\qquad f > 0</math>

<math>(f (g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x)</math> — Правило дифференцирования сложной функции

<math>f' = (\ln f)'f, \qquad f > 0</math>

<math>(f^c)' = c\left(f^{c-1}\right)f'</math>

См. также

• Таблица первообразных