Русская Википедия:Тангенциальное ускорение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Acceleration 1.png

Разложение ускорения <math>\mathbf a(t)</math> на тангенциальное <math>\mathbf a_\tau</math> и нормальное <math>\mathbf a_n</math> (<math>\mathbf \tau</math> — единичный касательный вектор)

Тангенциа́льное ускоре́ние — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости, в отличие от нормальной компоненты, характеризующей изменение направления скорости.

Определяется как производная модуля скорости по времени, умноженная на единичный вектор <math>\tau</math> вдоль скорости. Обозначается символом, выбранным для ускорения, с добавлением индекса тангенциальной компоненты: <math>\mathbf a_\tau</math> или <math>\mathbf a_t</math>, <math>\mathbf w_\tau</math>, <math>\mathbf u_\tau</math>. Измеряется в м/с² (в системе СИ).

Величина <math>a_\tau</math> равна проекции полного ускорения <math>\mathbf a</math> на касательную в данной точке кривой, что соответствует коэффициенту разложения по сопутствующему базису.

Общая формула

Величину тангенциального ускорения как проекцию вектора ускорения на касательную к траектории можно выразить так:

<math>a_\tau = \frac{dv}{dt}=\frac{d\vert \vec{v} \vert}{dt}</math>,

где <math>v\ = dl/dt</math> — путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.

Если использовать для единичного касательного вектора обозначение <math>\mathbf \tau</math>, то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:

<math>\mathbf a_\tau = \frac{dv}{dt}\, \mathbf \tau</math>.

Тангенциальное ускорение <math>\mathbf a_\tau</math> параллельно вектору скорости <math>\mathbf v</math> при ускоренном движении (положительная производная) и антипараллельно при замедленном (отрицательная производная).

Происхождение формулы

Разложение полного ускорения на тангенциальную и нормальную компоненты осуществляется посредством дифференцирования по времени вектора скорости, представленного в виде <math>\mathbf v = v\, \mathbf\tau</math> через единичный вектор касательной <math>\mathbf \tau</math>:

<math> \mathbf a = \frac{d \mathbf{v}}{dt}

          = \frac{d (v \mathbf\tau)}{dt}
          =  \frac{d v}{dt}\,\mathbf\tau + v \frac{d \mathbf\tau}{dt}
          =  \frac{d v}{dt}\,\mathbf\tau + \frac{v^2}{R}\mathbf{n}

</math>. Первое слагаемое — тангенциальное ускорение <math>\mathbf{a_{\tau}} </math>, а второе — нормальное ускорение <math>\mathbf{a_{n}}</math> (<math>R</math> и <math>\mathbf n</math> — радиус кривизны и единичный вектор нормали к траектории в рассматриваемой точке).

Некоторые примеры

Пример 1

Скорость камня, сброшенного с высоты с начальной скоростью <math>v_0</math>, направленной горизонтально, до падения на землю будет изменяться как <math>\vec{v} = v_0\,\vec{i} -gt\,\vec{j}</math>, где <math>g</math> — ускорение свободного падения. Модуль скорости составит <math>v = \sqrt{v_0^2+g^2t^2}</math>, а значит, тангенциальное ускорение по величине равняется <math>a_{\tau} = dv/dt = g^2t/\sqrt{v_0^2+g^2t^2}</math>. В начальный момент оно равно нулю, а при больших <math>t</math> стремится к <math>g</math>. Можно записать тангенциальное ускорение и как вектор:

<math>\vec{a}_{\tau} = a_{\tau}\,\vec{\tau} = a_{\tau}\cdot\frac{\vec{v}}{v} = a_{\tau}\cdot \frac{v_0\,\vec{i}-gt\,\vec{j}}{\sqrt{v_0^2+g^2t^2}} = \frac{v_0g^2t}{v_0^2+g^2t^2}\,\vec{i} - \frac{g^3t^2}{v_0^2+g^2t^2}\,\vec{j}</math>.

В этих выражениях <math>\vec{i}</math>, <math>\vec{j}</math> — единичные векторы в декартовых координатах.

Пример 2

Пусть радиус-вектор тела зависит от времени по закону <math>\vec{r}=r_0\sin(\omega t)\vec{i}+r_0\cos(\omega t)\vec{j}</math>.

В таком случае скорость тела найдётся как <math>\vec{v}= d\vec{r}/dt =r_0\omega\cos(\omega t)\vec{i}-r_0\omega\sin(\omega t)\vec{j}</math>. Соответственно, её модуль равен <math>v=\sqrt{r_0^2\omega^2\cos^2(\omega t)+r_0^2\omega^2\sin^2(\omega t)} = r_0\omega</math> и является постоянной величиной. В результате получается, что тангенциальное ускорение — ноль:

<math>a_\tau = \frac{dv}{dt}=\frac{d(r_0\omega)}{dt}=0</math>.

Рассмотренная зависимость <math>\vec{r}(t)</math> описывает равномерное движение по окружности радиусом <math>r_0</math>.

Равнопеременность

Движение тела с постоянным по величине тангенциальным ускорением называется равнопеременным. Слова «равнопеременное» (<math>a_{\tau} =\, </math>const) и «равноускоренное» (<math>\vec{a} =\,</math>const) не синонимичны. Взаимозаменяемыми данные термины становятся только применительно к прямолинейному движению. Тем не менее возможны определённые аналогии при рассмотрении обоих названных типов движения.

Шаблон:Rq Шаблон:ВС Шаблон:Механическое движение