Русская Википедия:Тангенциальнозначная форма
Тангенциальнозначные формы — это обобщение дифференциальных форм, при котором множеством значений формы является касательное расслоение к многообразию.
Определение
Тангенциальнозначной формой на многообразии <math>M</math> называется сечение тензорного произведения касательного и внешней степени кокасательного расслоений к многообразию:
- <math>\omega\colon M \to \left(\wedge^k T^*M\right) \otimes_{M} TM</math>
- <math>\pi \circ \omega = \imath d</math>
Операции
- Внутреннее дифференицрование
- Внешнее дифференцирование
Производная Ли
Частным случаем тангенциальнозначных форм являются векторные поля. Производная Ли от тензорного поля <math>T</math> по векторному полю <math>X</math> определяется стандартным образом:
- <math>L_X T = \frac{d}{dt} g^t T</math>
где <math>g^t</math> — фазовый поток, соответствующий векторному полю <math>X</math>. Эта операция связана с внутренним умножением <math>\imath_X</math> дифференциальной формы на векторное поле и внешним дифференцированием формулой гомотопии:
- <math>L_X = \imath_X d + d \imath_X</math>
то есть
- <math>L_X = [\imath_X, d]</math>
где <math>[\cdot,\cdot]</math> — коммутатор в градуированной алгебре дифференцирований тангенциальнозначных форм. Для произвольной тангенциальнозначной формы <math>K</math> производная Ли определяется по аналогии:
- <math>L_K = [\imath_K, d]</math>
- Свойства
- <math>[L_K, d] = 0</math>
Скобка Фрёлихера-Нейенхёйса
Скобка Фрёлихера-Нейенхёйса <math>[\cdot,\cdot]</math> двух тангенциальнозначных форм <math>K</math> и <math>F</math> определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма <math>[K,F]</math>, для которой
- <math>[L_K, L_F] = L([K,F])</math>
Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Если воспринимать почти комплексную структуру <math>I</math> как касательнозначную 1-форму, её тензор Нейенхёйса (тензор, препятствующий отысканию комплексных локальных карт) выражается через скобку Фрёлихера-Нейенхёйса как <math>[I,I]</math>.[1] Условие «интегрируемости» некой структуры как зануление некоторой её скобки с самой собой общо: например, условие ассоциативности алгебры <math>A</math> можно определять как зануление скобки Герстенхабера на пространстве кодифференцирований свободной коалгебры, порождённой подлежащим векторным пространством алгебры <math>A</math>, посажённым в градуировку 1 (билинейные умножения <math>\mu\colon A\otimes A\to A</math> суть то же самое, что кодифференцирования градуировки 1)[2].
Скобка Нейенхёйса-Ричардсона
Скобка Нейенхёйса-Ричардсона (алгебраические скобки) <math>[\cdot,\cdot]^\wedge</math> двух тангенциальнозначных форм <math>K</math> и <math>F</math> определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма <math>[K,F]^\wedge</math>, для которой
- <math>[\imath_K, \imath_F] = \imath([K,F]^\wedge)</math>
Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Явный вид для скобки двух форм <math>K \in \Omega^{k+1}(M,TM)</math>, <math>F \in \Omega^{f+1}(M,TM)</math>:
- <math>[K, F]^\wedge = \imath_k F - (-1)^{k f} \imath_F K</math>
Связанные определения
Форма называется припаивающей, если она лежит в <math>T^*M \otimes TM</math>.
Примечания
Литература
- Г. А. Сарданашвили Современные методы теории поля. Т.1: Геометрия и классические поля, — Шаблон:М: УРСС, 1996. — 224 с.
- Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. — ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
