Русская Википедия:Тангенциальный треугольник
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Тангенциальный треугольник (от Шаблон:Lang-la — касательный) — конструкция, дающая новый треугольник по данному треугольнику.
Если вокруг данного треугольника <math>\triangle ABC</math> описать окружность, то треугольник <math>\triangle A'B'C'</math> образованный тремя прямыми касательными к окружности проведёнными через вершины <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> называется тангенциальным.
Координаты вершин
Трилинейные координаты вершин тангенциального треугольника
- <math>A' = -a : b : c </math>
- <math>B' = a : -b : c </math>
- <math>C' = a : b : -c </math>
Свойства
- Стороны тангенциального треугольника <math>\triangle A'B'C'</math> антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
- Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
- Вписанная в тангенциальный треугольник <math>\triangle A'B'C'</math> окружность является описанной окружностью по отношению к данному треугольнику <math>\triangle ABC</math>.
- И обратно: центр вписанной в тангенциальный треугольник <math>\triangle A'B'C'</math> окружности совпадает с центром окружности, описанной около данного треугольника <math>\triangle ABC</math>.
- Связь между углами тангенциального треугольника и данного треугольника ΔABC
- <math>\ A' = \pi - 2A ; </math> <math>\ B' = \pi - 2B ; </math> <math>\ C' = \pi - 2C .</math>
- Для данного треугольника <math>\triangle ABC</math> его тангенциальный треугольник <math>\triangle A'B'C'</math> и ортотреугольник <math>\triangle ABC</math> подобны.
- Площадь данного треугольника <math>\triangle ABC</math> равна среднему геометрическому между площадями тангенциального треугольника и ортотреугольника.
- Площадь тангенциального треугольника равна[1]:
- <math>S_{tan}=\frac{S(2abc)^2} {(a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2)}</math>
- где <math>S </math> — площадь треугольника <math>\triangle ABC</math>; <math>a, b, c </math> — его соответствующие стороны. Или[2]
- <math>S_{tan}=\frac{1}{2}|S \sec A \sec B \sec C|</math>
- Стороны тангенциального треугольника равны[2]
- <math>a'=\frac{2a^3bc}{|a^4 - (b^2 - c^2)^2|}</math>
- <math>b'=\frac{2ab^3c}{|b^4 - (c^2 - a^2)^2|}</math>
- <math>c'=\frac{2abc^3}{|c^4 - (b^2 - a^2)^2|}</math>
- Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
Замечательные точки
Следующая таблица даёт соответствие замечательных точек тангенциального треугольника с центрами исходного треугольника. Xn означает индекс замечательной точки в списке Кимберлинга[3].
| Xn | Центр тангенциального треугольника | Xn | Центр исходного треугольника |
|---|---|---|---|
| X2 | центроид треугольника | X154 | X3 чева-сопряженная точка к X6 |
| X3 | центр описанной окружности | X26 | центр описанной окружности тангенциального треугольника |
| X4 | ортоцентр | X155 | собственный центр ортотреугольника |
| X5 | центр девяти точек | X156 | X5 тангенциального треугольника |
| X6 | точка пересечения симедиан | X157 | X6 тангенциального треугольника |
| X30 | бесконечная точка прямой Эйлера | X1154 | изогональное сопряжение точки X1141 |
| X523 | изогональное сопряжение точки X110 | X1510 | кросс-разность точек Наполеона |
См. также
Примечания
Литература
- ↑ Формулу можно вывести из предыдущего свойства и площади ортотреугольника
- ↑ 2,0 2,1 Шаблон:MathWorld3
- ↑ Шаблон:Cite web
