Русская Википедия:Тау-число

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Не путать Тау-число (<math>\tau</math>-число, Шаблон:Lang-en) — целое число <math>n</math>, делящееся на число своих делителей, или, выражаясь алгебраически, такое <math>n</math>, что <math>\tau(n)|n</math>. Первые несколько тау-чисел:

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96.

Например, 18 имеет шесть делителей (1 и 18, 2 и 9, 3 и 6) и делится на 6.

Тау-числа имеют асимптотическую плотность нуль. Никакие три последовательных целых числа не могут быть тау-числами Колтон доказал, что ни одно тау-число не является совершенным. Уравнение <math> (n, x) = \tau (n)</math> (где <math>(n, x)</math> — наибольший общий делитель <math>n</math> и <math>x</math>) имеет решение только в случае, если <math>n</math> — тау-число.

Остаются нерешёнными несколько проблем относительно тау-чисел:

• существуют ли сколь угодно большие <math>n</math>, для которых и <math>n</math>, и <math>n+1</math> являются тау-числами
• если существует тау-число <math>n_0 \equiv a \pmod m</math>, следует ли из этого, что существует <math>n > n_0</math>, такое что <math>n</math> является тау-числом и <math>n \equiv a \pmod m</math>.

Тау-числа были впервые определены Шаблон:Нп5 и Робертом Кеннеди в 1990 году, установившими, что тау-числа имеют нулевую асимптотическую плотность. Позднее они были переоткрыты Саймоном Колтоном (Шаблон:Lang-en2) с помощью программы, которую он написал для изобретения и проверки различных определений в теории чисел и теории графов. Колтон назвал эти числа Шаблон:Lang-en. Хотя компьютерные программы и обнаруживали доказательства ранее, это был первый случай, когда программа нашла новую или ранее незамеченную идею. Колтон доказал много результатов о тау-числах, показав бесконечность их числа и несколько условий их распределения.