Русская Википедия:Твистор
Твистор — точка в 4-мерном комплексном твисторном векторном пространстве, являющемся нелокальным комплексным твисторным отображением 4-мерного пространства-времени Минковского.
Введение понятия вызвано необходимостью усложнения математической модели для описания квантовомеханических событий в пространстве-времени. Так, для описания поглощения фотона недостаточно указать координаты точки поглощения в четырёхмерном пространстве, необходимо указать также его энергию и поляризацию. Для описания состояния электрона необходимо добавить к его координатам направление спина.
Теория твисторов использует тот факт, что значение поляризации или спина в точке пространства-времени — это луч в двумерном комплексном пространстве, или точка на сфере Римана <math>CP^1</math>. Эта сфера Римана является математическим образом абсолютного небосвода наблюдателя в специальной теории относительности. Таким образом, основной идеей теории твисторов является объединение математического аппарата специальной теории относительности (4-мерное пространство Минковского) и квантовой механики (комплексные числа).
Проективный твистор
Теория твисторов рассматривает в качестве фундаментальных объектов не точки пространства-времени, а лучи света. Рассмотрим световой луч Z в пространстве-времени Минковского и точку R, через которую он проходит. Световой луч в пространстве-времени Минковского при твисторном отображении отображается в точку Z проективного твисторного пространства PT, а точка R в пространстве-времени Минковского M при твисторном отображении отображается в сферу Римана R в проективном твисторном пространстве PT. Таким образом, точка Z в PT соответствует геометрическому месту Z (световому лучу) в пространстве М, а точка R в М соответствует геометрическому месту R (сфере Римана) в пространстве PT. Точки проективного твисторного пространства PT называются проективными твисторами.
Твисторное отображение
Точки пространства-времени представляются четырьмя вещественными числами, а координаты в проективном твисторном пространстве могут быть представлены отношениями четырёх комплексных чисел. Если световой луч с координатами <math>(Z_0,Z_1,Z_2,Z_3)</math> в твисторном пространстве проходит через точку (t, x, y, z) в пространстве-времени, то справедливо твисторное отображение
- <math>{Z_0 \choose Z_1} = \frac {i} {\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
t + z & x + iy \\ x - iy & t - z
\end{pmatrix}{Z_2 \choose Z_3}.</math>
Классификация твисторов
Твистор Z с координатами <math>(Z_0, Z_1, Z_2, Z_3)</math> называется положительным (соответственно отрицательным, изотропным), если величина <math>Z_0^2 + Z_1^2 - Z_2^2 - Z_3^2</math> положительна (соответственно отрицательна, равна нулю). Множества положительных (соответственно отрицательных, изотропных) твисторов обозначаются через Т+ (соотв. Т-, N), а их проективные аналоги — через PТ+ (соотв. PТ-, PN).
Применения теории твисторов
Теория твисторов применяется при решении уравнений Максвелла, Янга — Миллса и Эйнштейна.
См. также
Литература
- Пенроуз Р. Путь к реальности или законы, управляющие вселенной: Полный путеводитель / Пер. с англ. А. Р. Логунова, Э. М. Эпштейна. — М., Ижевск, 2007.
- Твисторы и калибровочные поля: Сборник статей / Под ред. В. В. Жаринова. — М.: Мир, 1983.
- Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени / Пер. с англ. — М.: Мир. 1988. — 572 с. — ISBN 5-03-001049-1
- Манин Ю. И. Математика как метафора. — М.: МЦНМО, 2008. — 400 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-287-9
- Геометрические идеи в физике: Сб. статей / пер. с англ. под ред. Ю. И. Манина. — М.: Мир, 1983. — 240 c.
- Манин Ю. И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. — М.: Наука, 1984. — 336 с.
