Русская Википедия:Телеграфные уравнения
Телегра́фные уравне́ния — пара линейных дифференциальных уравнений, описывающих распределение напряжения и тока по времени и расстоянию в линиях электрической связи. Уравнения были составлены Оливером Хевисайдом, разработавшим в 1880-х годах модель линии электрической связи.
Теория Хевисайда применима к линиям передачи электрического тока всех частот, включая телеграфные, телефонные и более высокочастотные линии, а также силовые линии электропередачи и линии передачи постоянного тока.
Распределённые параметры
Телеграфные уравнения, как и все другие уравнения, описывающие электрические явления, могут быть сведены к частному случаю уравнений Максвелла. С практической точки зрения предполагается, что проводники состоят из бесконечной цепи четырёхполюсников, каждый из которых представляет собой бесконечно короткий участок линии со следующими параметрами:
- Сопротивление проводников <math>R</math> представлено в виде продольного резистора (выражается в ом на единицу длины).
- Индуктивность <math>L</math>, учитывающая эффекты самоиндукции и взаимоиндукции от наличия магнитного поля вокруг проводников с током, представлена в виде продольной катушки индуктивности (генри на единицу длины).
- Ёмкость <math>C</math> между двумя проводниками представлена в виде поперечного конденсатора (фарад на единицу длины).
- Проводимость диэлектрического материала (изоляции), разделяющего два проводника, <math>G</math> представлена в виде поперечного резистора (сименс на единицу длины). В модели этот резистор имеет сопротивление <math>1/G</math> Ом.
Параметры <math>R</math> и <math>L</math> показаны на рисунке отнесёнными к одному проводнику, но фактически представляют соответствующее суммарное значение, относящееся к обоим проводникам. Распределённые по бесконечной цепи четырёхполюсников параметры <math>R</math>, <math>L</math>, <math>C</math>, <math>G</math> называются первичными параметрами линии. Также можно использовать обозначения <math>R'</math>, <math>L'</math>, <math>C'</math>, <math>G'</math>, чтобы подчеркнуть, что значения являются производными по координате.
Уравнения
Линия без потерь
Когда элементы <math>R</math> и <math>G</math> малы, их значением можно пренебречь, линия электрической связи при этом считается идеальной. В этом случае модель зависит только от элементов <math>L</math> и <math>C</math>, мы получаем пару дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, одна функция описывает распределение напряжения <math>U</math> вдоль линии, а другая — распределение тока <math>I</math>, обе функции зависят от координаты <math>x</math> и времени <math>t</math>[1][2][3][4][5][6][7]:
- <math>
\frac{\partial}{\partial x} U(x,t) = -L \frac{\partial}{\partial t} I(x,t), </math>
- <math>
\frac{\partial}{\partial x} I(x,t) = -C \frac{\partial}{\partial t} U(x,t). </math>
Эти уравнения можно совместить для получения двух отдельных волновых уравнений:
- <math>
\frac{\partial^2}{{\partial t}^2} U = \frac{1}{LC} \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} U, </math>
- <math>
\frac{\partial^2}{{\partial t}^2} I = \frac{1}{LC} \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} I. </math>
В гармоническом случае (считая, что волна синусоидальная) <math>E = E_0 \cdot e^{-j\omega ( \frac{x}{c} - t)} </math>, уравнения упрощаются до
- <math>\frac{\partial^2U(x)}{\partial x^2} + \omega^2 LC\cdot U(x) = 0,</math>
- <math>\frac{\partial^2I(x)}{\partial x^2} + \omega^2 LC\cdot I(x) = 0,</math>
где <math>\omega</math> — частота стационарной волны.
Если линия является бесконечно длинной или оканчивается характеристическим комплексным сопротивлением, уравнения показывают присутствие волны, распространяющейся со скоростью <math>v = 1/\sqrt{LC}</math>.
Такая скорость распространения применима к волновым явлениям и не учитывает дрейфовую скорость электрона. Другими словами, электрический импульс распространяется со скоростью, очень близкой к скорости света, несмотря на то, что сами электроны перемещаются со скоростью всего несколько сантиметров в секунду. Можно показать, что эта скорость в коаксиальной линии, сделанной из идеальных проводников, разделенных вакуумом, равна скорости света[8][9].
Линия с потерями
Когда элементами <math>R</math> и <math>G</math> нельзя пренебречь, первоначальные дифференциальные уравнения, описывающие элементарный участок, принимают вид:
- <math>
\frac{\partial}{\partial x} U(x,t) = -L \frac{\partial}{\partial t} I(x,t) - R I(x,t), </math>
- <math>
\frac{\partial}{\partial x} I(x,t) = -C \frac{\partial}{\partial t} U(x,t) - G U(x,t). </math>
Дифференцируя первое уравнение по <math>x</math> и второе по <math>t</math>, после проведения некоторых алгебраических преобразований, мы получим пару гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных, каждое из которых содержит по одной неизвестной:
- <math>
\frac{\partial^2}{{\partial x}^2} U = L C \frac{\partial^2}{{\partial t}^2} U + (R C + G L) \frac{\partial}{\partial t} U + G R U, </math>
- <math>
\frac{\partial^2}{{\partial x}^2} I = L C \frac{\partial^2}{{\partial t}^2} I + (R C + G L) \frac{\partial}{\partial t} I + G R I. </math>
Если потери линии малы (малые <math>R</math> и <math>G=0</math>), сигнал будет затухать с увеличением расстояния как <math>e^{-\alpha x}</math>, где <math>\alpha=R/(2Z_0)</math>.
Эти уравнения похожи на уравнение однородной волны с дополнительными условиями над <math>U</math> и <math>I</math> и их первыми производными. Дополнительные условия вызывают затухание и рассеяние сигнала в течение времени и с увеличением расстояния.
Направление распространения сигнала
Волновые уравнения, описанные выше, учитывают, что распространение волны может быть прямым и обратным. Учитывая упрощение линии без потерь (полагая <math>R = 0</math> и <math>G = 0</math>), решение может быть представлено в виде
- <math>U(x, t) = f_1(\omega t - kx) + f_2(\omega t + kx),</math>
где:
- <math> k = \omega \sqrt{LC} = \omega/v,</math>
- <math>k</math> называется волновым числом и измеряется в радианах на метр,
- <math>\omega</math> — угловая частота (в радианах в секунду),
- <math>f_1</math> и <math>f_2</math> могут быть любыми функциями, и
- <math>v = 1/\sqrt{LC}</math> — скорость распространения волны (или фазовая скорость).
<math>f_1</math> представляет волну, идущую в положительном направлении оси <math>x</math> (слева направо), <math>f_2</math> представляет волну, идущую справа налево. Можно заметить, что мгновенное значение напряжения в любой точке <math>x</math> линии является суммой напряжений, вызванных обеими волнами.
Так как зависимость между током <math>I</math> и напряжением <math>U</math> описывается телеграфными уравнениями, можно записать:
- <math>I(x, t) = \frac{f_1(\omega t - kx)}{Z_0} - \frac{f_2(\omega t + kx)}{Z_0},</math>
где <math>Z_0</math> — волновое сопротивление линии передачи, которое для линии без потерь можно найти как
- <math>Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}.</math>
Решение телеграфных уравнений
Решение телеграфных уравнений есть, например, на с. 348 в примере 80 (плюс решение примера 79 на с. 347—348) в книге[10].
См. также
Примечания
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов Шаблон:Wayback, 13-е издание. Шаблон:М.: Наука, 1986.
